… … … … … … 名…姓… … … … … ． … 号…学… … 线 封号 序 密 过 超号 班要学 教不 纸题卷 试答 学…大…峡．三……………………
2017学年春季学期
(A)0 (B) l (C) 3l (D) 4l
7．下列结论正确的是 ( )
《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（B）
(A) 若u?n?1u?1(n?1,2,?)成立，则正项级数?un收敛
nn?1?注意：
1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方
(B) 当limn??un?0时，交错级数
?(?1)nun收敛
n?1?题号 一 二 三 四 总分 (C) 若级数
?un收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛 n?1得分 ?(D) 若对级数?un的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛
n?1 ???8.设
an阅卷人 得分
nx的收敛半径为R(R?0)，则n?1?a2nnx的收敛半径为 ( A )
n?1一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的(A)
R (B) R (C) R2 (D) 不能确定
代号A、B、C或D填入下表中．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
阅卷人 得分
答案
二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．
1．a与b是向量，若a?b?a?b，则必有（ ）
1．过点(1,2,3)且方向向量为n?(1,2,3)的直线方程为 ； (A)a?b (B)a?0,或b?0 (C)a=b (D)a?b?ab
2. sin(2.设z是方程x?y?z?ez所确定的x,y的隐函数，则?z?x,ylimxy)???0,1?x?( ).
?x(1,0,0)? ； （A） 不存在 （B） 1 （C） 0 （D） ?
3．二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件是（ ）
3.设f(x,y)?x2?y2，则gradf(1,1)? ； （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续
（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在 4. 交换积分
?1dyy0?yf(x,y)dx的积分次序，变为 ；
（C）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续
5．设L是直线y?2x?1上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy（D） 当(?x)2?(?y)2?0时，?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y是
比(?x)2?(?y)2高阶的无穷小
转换成对弧长的曲线积分为 ； 4．对函数f(x,y)?x2?y2，原点(0,0)是f(x,y)的( ). 6.幂级数
xn（A）驻点与极值点 （B）驻点，非极值点 ??(?1)n?1n?1n的收敛域是 ； （C）极值点，非驻点 （D）非驻点，非极值点 5．设平面区域D：(x?2)2?(y?1)2?1，若I3,?]上的表达式为1???(x?y)2d?，I???(x?7.设有周期为2?的函数，它在(??2y)d?
f?x?????1,???x?0DD?1?x,0?x??，
则有（ ）
（A）I1?I2 （B） I1?I2 （C）I1?I2 （D）不能比较 22其傅里叶级数在点x??处收敛于 . 6．设椭圆L：
x4?y3?1的周长为l，则??L(x?y)ds?（ ）
2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第
1 页
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阅卷人 得分
三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
4．计算I????(x?1)dv，其中?是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体．
1．设z?z(x,y)由方程F(2x?3z,2y?z)?0所确定，其中F是可微函数，求dz． ?解： 解：
? 5．求幂级数 ?xnn?0n?1的收敛域与和函数．
2.求曲面ez?2z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 解：
解：
3.计算二重积分??(x2?xy?y2)d?，其中D由x?0,y?0,x?y?1所围成．
D 解：
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2 页
阅卷人 得分
… … … … … … 名…姓… … … … … ． … 号…学… … 线 封号 序 密 过 超号 班要学 教不 纸题卷 试答 学…大…峡．三…………………… 四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说 明、证明过程或演算步骤）
1．在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短．
解： 4．计算积分I?S，其中?是上半球面z?a2?x2?y2，(a?0).
???zd 解：
2.计算??L?ydx?xdy，其中L是沿圆周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周．
解：
5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
??(xcos??ycos??zcos?)dS， 其中?为锥面x2?y2?z2介于平面z?0及z?1? 之间的部分的下侧， (cos?,cos?,cos?)是 ?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦．
解：
3．计算?xyds，其中L为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：x2?y2?2x(y?0)．
L解：
2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第
3 页
2017学年春季学期
《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(B)
答案及评分标准
一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）
(C) 若级数
?un?1?n收敛，则对级数的项任意加括号后所成的新级数也收敛； 的项适当加括号后所成的新级数收敛，则原级数也收敛．
?(D) 若对级数8.设(A)
?un?1?n?an?1?nx的收敛半径为R(R?0)，则?anx2n的收敛半径为 ( A )
nn?1
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8
R； (B) R； (C) R2； (D) 不能确定．
二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．
1．过点(1,2,3)且方向向量为n?(1,2,3)的直线方程为
x?1y?2z?3?? ． 123
2.设z是方程x?y?z?ez所确定的x,y的隐函数，则
D B C C A A C A 1．a与b是向量，若a?b?a?b，则必有（D ）
(A)a?b； (B)a?0,或b?0； (C)a=b； (D)a?b?ab．
sin(xy)?( B ).
?x,y???0,1?x （A） 不存在；（B） 1； （C） 0； （D） ? .
3．二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充要条件是（ C ）
2.
lim1?z(1,0,0)?____________
2?xx3.设f(x,y)?x2?y2，则gradf(1,1)? （2，-2） ． 4. 交换积分
（A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；
（B）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在； （C）fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续； (D)当
22?10dy?yyf(x,y)dx的积分次序为______?dx?2f(x,y)dy___．
0x15．设L是直线y?2x?1上从点（0，1）到点（1，3）的线段， 将转换成对弧长的曲线积分为 6.幂级数
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy(?x)2?(?y)2?0时，?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y是比
22?L1(P?2Q)ds ． 5(?x)?(?y)高阶的无穷小．
4．对函数f(x,y)?x?y，原点(0,0)是f(x,y)的( C ). （A）驻点与极值点； （B）驻点，非极值点； （C）极值点，非驻点； （D）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D：(x?2)?(y?1)?1，若I1?2232，I?(x?y)d? (x?y)d?2????D?(?1)n?1?n?1xn的收敛域是 (?1,1] . n??1,???x?02?7.设有周期为的函数，它在(??,?]上的表达式为f?x???，
1?x,0?x???D其傅里叶级数在点x??处收敛于
则有（ A ）
（A）I1?I2； （B） I1?I2； （C）I1?I2； （D）不能比较．
? . 2x2y2??1的周长为l，则?6．设椭圆L：?L(x?y)ds?（A ） 43 (A)0； (B) l； (C) 3l； (D) 4l．
7．下列结论正确的是 ( C )
?un?1(A) 若?1(n?1,2,?)成立，则正项级数?un收敛；
unn?1三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
1．设z?z(x,y)由方程F(2x?3z,2y?z)?0所确定，其中F是可微函数，求dz． 解：dz?zxdx?zydy………………2分
(B) 当limun?0时，交错级数
n???(?1)unn?1?n收敛；
2F12F2dx??dy………………5分
?3F1?F2?3F1?F22Fdx?2F2dy?1．………………7分
3F1?F22F1dx?2F2dydz?或解：由F，得． ?(2dx?3dz)?F?(2dy?dz)?0123F1?F2??4 页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第
2.求曲面ez?2z?xy?3在点(2,1,0)处的切平面方程与法线方程. 解：令F(x,y,z)?ez?2z?xy?3，………………2分 则Fx?y,Fy?x,Fz?ez?2，故n(2,1,0)??xn?1????xn?1???n1逐项求导，得(xs(x))????===，x?(?1,1) x?????1?xn?1n?1?n?0?n?0??n?0将上式两端从0到x积分，得xs(x)??=(1,2,3) ………………4分
所求切平面的方程为 (x?2)?2(y?1)?3z?0， 即x?2y?3z?4， ………………6分
1dx??ln(1?x),?1?x?1， 01?xx（根据和函数的连续性，当x??1时，此式也成立）． 于是，当x?0时，s(x)??
x?2y?1z??.………………7分 1233.计算二重积分??(x2?xy?y2)d?，其中D由x?0,y?0,x?y?1所围成．
法线方程为
D1ln(1?x)，又s(0)?1．故 x解：
22(x?xy?y)d? ??D=
1?10dx?-x?1?1??ln(1?x), x?[-1,0)?(0,1), s(x)??x ………………7分
??1, x?0.
四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．在椭圆x2?4y2?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离最短． 解： 设(x,y)为椭圆x2?4y2?4上任一点，则该点到直线2x?3y?6?0的距离为
0(x2?xy?y2)dy………………4分
5x15??(?x3?x2??)dx?．………………7分 062324
4．计算I????(x?1)dv，其中?是以原点(0,0,0)为形心，边长为a正立方体．
?解：?的形心为(0,0,0)，?的体积V为a，………………4分
故
3d?6?2x?3y13 ；令L?(6?2x?3y)2??(x2?4y2?4)，………………2分
于是由
I?xV?V?V?a3.………………7分
?xn 5．求幂级数?的收敛域与和函数．
n?0n?1解：因为??limn??an?1n?1?lim?1，所以R?1 ． ………………1分 n??ann?2??Lx??4(6?2x?3y)?2?x?0,? ?Ly??6(6?2x?3y)?8?y?0, ?22?L??x?4y?4?0,83838383得驻点 M1(,)，M2(?,)，M3(?,?)，M4(,?)，………………5分
35555555依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在， 其中dmin?2.计算
(?1)n在左端点x??1，幂级数成为?，它是收敛的；
n?1n?01在右端点x?1，幂级数成为?，它是发散的，
n?1n?0故该幂级数收敛域为[?1,1)． ………………3分 令s(x)??6?2x?3yM??L113?ydx?xdy，其中L是沿圆周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周．
?13即为所求．………………7分 13222解： 圆周(x?1)?(y?1)?1所围区域D的面积为 1??，………………3分 由格林公式得
x，x?[?1,1)，于是 ?n?0n?1xn?1，x?[?1,1)， xs(x)??n?1n?0??n???ydx?xdy???LD(1?1)dxdy=2?．………………7分
223．计算xyds，其中L为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：x?y?2x(y?0)．
L?解： L:{x?1?costy?sint?,t?[0,?]，………………3分
?xyds??L0(1?cost)sintdt?2．………………7分
5 页 2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第
4．计算积分I?zdS，其中?是上半球面z?a2?x2?y2，(a?0).
???解：dS?1?z22x?zydxdy=aa2?x2?y2dxdy………………3分
I???a2?x2?y2?1?z2x?z2ydxdy ………………5分
D???a2?x2?y2?aDa2?x2?y2dxdy???adxdy??a3．………………7分
D5．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
??(xcos??ycos??zcos?)dS， 其中?为锥面x2?y2?z2介于平面z?0及z?1?之间的部分的下侧， （cos?,cos?,cos?）是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦． 解：设?1为z?1(x2?y2?1)的上侧，………………2分 则?与?1一起构成一个闭曲面， 记它们围成的空间闭区域为?????1，
由高斯公式得 (xcos??ycos??zcos?)dS?????????3dxdydz=?………………4分
1? 而 ??(xcos??ycos??zcos?)dS???zdxdy???dxdy??，………………6分
?1?1x2?y2?1因此 ??(xcos??ycos??zcos?)dS=0 ………………7分 ?
2017年《高等数学Ⅰ（二）》课程期末考试试卷B共3页第6 页
高数（二）期末考试试卷及答案
