升级增分训练(一)函数与方程
π
1.在?2+2kπ,π+2kπ?,k∈Z上存在零点的函数是( )
??
A.y=sin 2x C.y=tan 2x
B.y=cos 2x D.y=sin2x
π
+2kπ,π+2kπ?,k∈Z时, 解析:选B 当x∈??2?sin 2x<0,sin2x>0恒成立.故排除A,D,若tan 2x=0, 则2x=kπ,x=在零点,当x=πkπ+2kπ,π+2kπ?,k∈Z上不存,k∈Z,所以y=tan 2x在x∈??2?23π+2kπ,k∈Z时,cos 2x=0,故选B. 42.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)、(b,c)内 B.(-∞,a)、(a,b)内 C.(b,c)、(c,+∞)内 D.(-∞,a)、(c,+∞)内 解析:选A f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),f(c)=(c-a)(c-b),∵a<b<c,∴f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,即f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又∵f(x)在R上是连续函数,∴两零点分别位于区间(a,b),(b,c)内. 3.在下列区间中,函数f(x)=3x-x2有零点的是( ) A.[0,1] C.[-2,-1] 解析:选D ∵f(0)=1,f(1)=2, ∴f(0)f(1)>0; ∵f(2)=5,f(1)=2,∴f(2)f(1)>0; ∵f(-2)=-
352,f(-1)=-, 93
B.[1,2] D.[-1,0] ∴f(-2)f(-1)>0;
2
∵f(0)=1,f(-1)=-,∴f(0)f(-1)<0.
3易知[-1,0]符合条件,故选D.
4.(2017·皖江名校联考)已知函数f(x)=ex-2ax,函数g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f′(x1)=g′(x2),则实数a的取值范围为( )
A.(-2,3) C.[-2,3]
x
B.(-6,0) D.[-6,0]
2
a2a2
解析:选D 易得f′(x)=e-2a>-2a,g′(x)=-3x-2ax≤,由题意可知≤
33-2a,解得-6≤a≤0.
11
5.函数y=ln x+x--2的零点所在的区间为( )
x21?A.??e,1? C.(2,e) B.(1,2) D.(e,3) 111解析:选C 由题意,求函数y=ln x+x-x-2(x>0)的零点,即为求曲线y=ln 22111
x与y=-x+x+2的交点,可知y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,而y=-x+x
211+2在(0,+∞)上为单调递减函数,故交点只有一个,当x=2时,ln x<-x++2,x21111当x=e时,ln x>-x+x+2,因此函数y=ln x+x-x-2的零点在(2,e)内.故选C.
226.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);②当x
?e,x≤0,2∈[-1,1]时,f(x)=1-x.若函数g(x)=?则函数y=f(x)-g(x)在区间(-?ln x,x>0,4,5)上的零点个数是( ) A.7 C.9 B.8 D.10 x 解析:选C 函数f(x)与g(x)在区间[-5,5]上的图象如图所示,由图可知,函数f(x)与g(x)的图象在区间(-4,5)上的交点个数为9,即函数y=f(x)-g(x)在区间(-4,5)上零点的个数是9.
7.(2017·昆明两区七校调研)若f(x)+1=
1
,当x∈[0,1]时,f(x)=x,在区f?x+1?
m
间(-1,1]内,g(x)=f(x)-mx-有两个零点,则实数m的取值范围是( )
2
1
A.?0,3?
??
2
B.?0,3?
??
10,? C.??3?
解析:选B 依题意, 1f(x)=-1,
f?x+1?
当x∈(-1,0)时,x+1∈(0,1), f(x)=11-1=-1, f?x+1?x+12
,+∞? D.??3?
1x+?. 由g(x)=0得f(x)=m??2?1x+?在区间(-1,1]内的图象, 在同一坐标系上画出函数y=f(x)与y=m??2?1
结合图象可知,要使g(x)有两个零点,只需函数y=f(x)与y=m?x+2???
?该直线斜率为m,过点?-1,0??在区间(-1,1]内的图象有两个不同的交点, ??2??20,?,选B. 故实数m的取值范围是??3?8.(2017·海口调研)若关于x的方程|x4-x3|=ax在R上存在4个不同的实根,则实数a的取值范围为( ) 4A.?0,27? ??4B.?0,27? ??42?C.??27,3? 42?D.??27,3? 解析:选A 依题意,注意到x=0是方程|x4-x3|=ax的一个根. 当x>0时,a=|x3-x2|, 记f(x)=x3-x2, 则有f′(x)=3x2-2x, 20,?上单调递减, 易知f(x)=x3-x2在区间??3?2
,+∞?上单调递增. 在区间(-∞,0),??3?又f(1)=0,
|x4-x3|?|f?x?|,x>0,
因此g(x)==?的图象如图所示,由题意得直线y=a与函数
x-|f?x?|,x<0?
4
y=g(x)的图象有3个不同的交点时,a∈?0,27?,选A.
??
9.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4] 7?C.??3,3? 7
B.?2,3?
??
D.[2,3] 解析:选D 函数f(x)=ex-1+x-2的零点为x=1, 设g(x)=x2-ax-a+3的零点为b, 若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”, 则|1-b|≤1,∴0≤b≤2. 由于g(x)=x2-ax-a+3必经过点(-1,4), ∴要使其零点在区间[0,2]上, -a+3≥0,g?0?≥0,????则??a?即??a?2 a-a·-a+3≤0,g≤0,??2??2???2?解得2≤a≤3. 10.已知在区间[-4,4]上4??log2?x+5?+3?x+1?,-4≤x≤-1,? ??2|x-1|-2,-1<x≤4,给出下列四个命题: ①函数y=f[g(x)]有三个零点; ②函数y=g[f(x)]有三个零点; ③函数y=f[f(x)]有六个零点; ④函数y=g[g(x)]有且只有一个零点. 其中正确命题的个数是( ) A.1 C.3
B.2 D.4
g(x)=-12x-x+2,f(x)=8 解析:选D 画出函数f(x),g(x)的草图,如图,
①设t=g(x),则由f[g(x)]=0,得f(t)=0,
则t=g(x)有三个不同值,由于y=g(x)是减函数,所以f[g(x)]=0有3个解, 所以①正确;
②设m=f(x),若g[f(x)]=0,即g(m)=0, 则m=x0∈(1,2),所以f(x)=x0∈(1,2), 由图象知对应f(x)=x0∈(1,2)的解有3个, 所以②正确;
③设n=f(x),若f[f(x)]=0,
即f(n)=0,n=x1∈(-3,-2)或n=0或n=x2=2,
而f(x)=x1∈(-3,-2)有1个解,f(x)=0对应有3个解,f(x)=x2=2对应有2个解,所以f[f(x)]=0共有6个解,所以③正确;
④设s=g(x),若g[g(x)]=0,即g(s)=0, 所以s=x3∈(1,2),则g(x)=x3,
因为y=g(x)是减函数,所以方程g(x)=x3只有1个解,所以④正确,故四个命题都正确.
?2x3+3x2+m,0≤x≤1,
11.已知函数f(x)=?若函数f(x)的图象与x轴有且只有
?mx+5,x>1.
两个不同的交点,则实数m的取值范围为________.
解析:当x∈[0,1]时,f′(x)=6x2+6x≥0, 则f(x)=2x3+3x2+m在[0,1]上单调递增,
因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点, 所以在区间[0,1]和(1,+∞)内分别有一个交点, 则m<0,且f(1)=m+5>0,解得-5<m<0. 答案:(-5,0)
?2,x≤0,
12.设函数f(x)=?则函数y=f(f(x))-1的零点个数为________.
?log2x,x>0,
解析:①当x≤0时,
y=f(f(x))-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1,
x