升级增分训练（一）函数与方程
π
1．在?2＋2kπ，π＋2kπ?，k∈Z上存在零点的函数是( )
??
A．y＝sin 2x C．y＝tan 2x
B．y＝cos 2x D．y＝sin2x
π
＋2kπ，π＋2kπ?，k∈Z时， 解析：选B 当x∈??2?sin 2x＜0，sin2x＞0恒成立．故排除A，D，若tan 2x＝0， 则2x＝kπ，x＝在零点，当x＝πkπ＋2kπ，π＋2kπ?，k∈Z上不存，k∈Z，所以y＝tan 2x在x∈??2?23π＋2kπ，k∈Z时，cos 2x＝0，故选B． 42．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)、(b，c)内 B．(－∞，a)、(a，b)内 C．(b，c)、(c，＋∞)内 D．(－∞，a)、(c，＋∞)内 解析：选A f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，即f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，又∵f(x)在R上是连续函数，∴两零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内． 3．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的是( ) A．[0,1] C．[－2，－1] 解析：选D ∵f(0)＝1，f(1)＝2， ∴f(0)f(1)＞0； ∵f(2)＝5，f(1)＝2，∴f(2)f(1)＞0； ∵f(－2)＝－
352，f(－1)＝－， 93
B．[1,2] D．[－1,0] ∴f(－2)f(－1)＞0；
2
∵f(0)＝1，f(－1)＝－，∴f(0)f(－1)＜0．
3易知[－1,0]符合条件，故选D．
4．(2017·皖江名校联考)已知函数f(x)＝ex－2ax，函数g(x)＝－x3－ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′(x1)＝g′(x2)，则实数a的取值范围为( )
A．(－2,3) C．[－2,3]
x
B．(－6,0) D．[－6,0]
2
a2a2
解析：选D 易得f′(x)＝e－2a＞－2a，g′(x)＝－3x－2ax≤，由题意可知≤
33－2a，解得－6≤a≤0．
11
5．函数y＝ln x＋x－－2的零点所在的区间为( )
x21?A．??e，1? C．(2，e) B．(1,2) D．(e,3) 111解析：选C 由题意，求函数y＝ln x＋x－x－2(x＞0)的零点，即为求曲线y＝ln 22111
x与y＝－x＋x＋2的交点，可知y＝ln x在(0，＋∞)上为单调递增函数，而y＝－x＋x
211＋2在(0，＋∞)上为单调递减函数，故交点只有一个，当x＝2时，ln x＜－x＋＋2，x21111当x＝e时，ln x＞－x＋x＋2，因此函数y＝ln x＋x－x－2的零点在(2，e)内．故选C．
226．已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；②当x
?e，x≤0，2∈[－1,1]时，f(x)＝1－x．若函数g(x)＝?则函数y＝f(x)－g(x)在区间(－?ln x，x>0，4,5)上的零点个数是( ) A．7 C．9 B．8 D．10 x 解析：选C 函数f(x)与g(x)在区间[－5,5]上的图象如图所示，由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间(－4,5)上的交点个数为9，即函数y＝f(x)－g(x)在区间(－4,5)上零点的个数是9．
7．(2017·昆明两区七校调研)若f(x)＋1＝
1
，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，在区f?x＋1?
m
间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－有两个零点，则实数m的取值范围是( )
2
1
A．?0，3?
??
2
B．?0，3?
??
10，? C．??3?
解析：选B 依题意， 1f(x)＝－1，
f?x＋1?
当x∈(－1,0)时，x＋1∈(0,1)， f(x)＝11－1＝－1， f?x＋1?x＋12
，＋∞? D．??3?
1x＋?． 由g(x)＝0得f(x)＝m??2?1x＋?在区间(－1,1]内的图象， 在同一坐标系上画出函数y＝f(x)与y＝m??2?1
结合图象可知，要使g(x)有两个零点，只需函数y＝f(x)与y＝m?x＋2???
?该直线斜率为m，过点?－1，0??在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点， ??2??20，?，选B． 故实数m的取值范围是??3?8．(2017·海口调研)若关于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为( ) 4A．?0，27? ??4B．?0，27? ??42?C．??27，3? 42?D．??27，3? 解析：选A 依题意，注意到x＝0是方程|x4－x3|＝ax的一个根． 当x＞0时，a＝|x3－x2|， 记f(x)＝x3－x2， 则有f′(x)＝3x2－2x， 20，?上单调递减， 易知f(x)＝x3－x2在区间??3?2
，＋∞?上单调递增． 在区间(－∞，0)，??3?又f(1)＝0，
|x4－x3|?|f?x?|，x＞0，
因此g(x)＝＝?的图象如图所示，由题意得直线y＝a与函数
x－|f?x?|，x＜0?
4
y＝g(x)的图象有3个不同的交点时，a∈?0，27?，选A．
??
9．对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] 7?C．??3，3? 7
B．?2，3?
??
D．[2,3] 解析：选D 函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1， 设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b， 若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”， 则|1－b|≤1，∴0≤b≤2． 由于g(x)＝x2－ax－a＋3必经过点(－1,4)， ∴要使其零点在区间[0,2]上， －a＋3≥0，g?0?≥0，????则??a?即??a?2 a－a·－a＋3≤0，g≤0，??2??2???2?解得2≤a≤3． 10．已知在区间[－4,4]上4??log2?x＋5?＋3?x＋1?，－4≤x≤－1，? ??2|x－1|－2，－1＜x≤4，给出下列四个命题： ①函数y＝f[g(x)]有三个零点； ②函数y＝g[f(x)]有三个零点； ③函数y＝f[f(x)]有六个零点； ④函数y＝g[g(x)]有且只有一个零点． 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
g(x)＝－12x－x＋2，f(x)＝8 解析：选D 画出函数f(x)，g(x)的草图，如图，
①设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，
则t＝g(x)有三个不同值，由于y＝g(x)是减函数，所以f[g(x)]＝0有3个解， 所以①正确；
②设m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0， 则m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)， 由图象知对应f(x)＝x0∈(1,2)的解有3个， 所以②正确；
③设n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，
即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，
而f(x)＝x1∈(－3，－2)有1个解，f(x)＝0对应有3个解，f(x)＝x2＝2对应有2个解，所以f[f(x)]＝0共有6个解，所以③正确；
④设s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0， 所以s＝x3∈(1,2)，则g(x)＝x3，
因为y＝g(x)是减函数，所以方程g(x)＝x3只有1个解，所以④正确，故四个命题都正确．
?2x3＋3x2＋m，0≤x≤1，
11．已知函数f(x)＝?若函数f(x)的图象与x轴有且只有
?mx＋5，x＞1.
两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．
解析：当x∈[0,1]时，f′(x)＝6x2＋6x≥0， 则f(x)＝2x3＋3x2＋m在[0,1]上单调递增，
因为函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点， 所以在区间[0,1]和(1，＋∞)内分别有一个交点， 则m＜0，且f(1)＝m＋5＞0，解得－5＜m＜0． 答案：(－5,0)
?2，x≤0，
12．设函数f(x)＝?则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为________．
?log2x，x＞0，
解析：①当x≤0时，
y＝f(f(x))－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，
x
高一数学升级增分训练 函数与方程
