专题05 立体几何与数学文化
纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。
【例1】（2024课标2）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正 方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)．半正多面体是由两种或两 种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体， 它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长 为 ．
【答案】26，
2?1．
【解析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8?1，个面，下层也有8?1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45?该半正多面体共有8?8?8?2?26个面，设其棱长为x，则x?2倍． 222x?x?1，解得x?2?1． 22【试题赏析】本题以金石文化为背景，考查了球内接多面体，体现了对直观想象和数学运算素养的考查。 【例2】（2024课标Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬
合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A． B．
C．【答案】A
D．
【解析】由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图
形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
【试题赏析】本题以中国古建筑借助榫卯将木构件为背景，考查了简单几何体的三视图的画法。 【例2】 (2024浙江高考) 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体?sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是
A．158 【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体如图，
B．162
C．182
D．324
该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解， 即S五边形ABCDE?11?4?6??3??2?6??3?27，高为6，则该柱体的体积是V?27?6?162．故选：B． 22【试题赏析】本题以祖暅原理为背景，考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体。 【例3】（2024新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体 ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，
分
别为所在棱的中点，AB?BC?6cm，AA1?4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．
【答案】118.8．
【解析】该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB?BC?6cm，AA1?4cm，
?该模型体积为：VABCD?A1B1C1D1?VO?EFGH?6?6?4??(4?6?4??3?2)?3?144?12?132(cm3)，
13123D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
?制作该模型所需原料的质量为：132?0.9?118.8(g)．
【试题赏析】本题以3D打印技术为背景，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，数形结合思想．
【例4】（2014?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的 有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相 当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V?12Lh，它实际上是将圆锥体积公式 36
专题05 立体几何与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
