2024届江口中学高三数学（肇庆市一模统考前的）测试题
参考答案
一．选择题： 题号 1 2 答案 B A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 C 9 ACD 10 AD 11 CD 12 ABCD 202
三．填空题：（13） 1 /2 （14）150 （15）11 16. (，1)
2
四． 解答题： 17题【解析】
（1）选择条件①，利用正弦定理边角互化思想结合辅助角公式得出sin?C?结合角C的取值范围可求得角C的值；
选择条件②，利用正弦定理边角互化思想结合三角形内角和定理、两角和的正弦公式可得出
????1??，再
6?2tanC?3，结合角C的取值范围可求得角C的值；
（2）利用余弦定理结合条件a?b?13可求得ab的值，再利用三角形的面积公式可求得
ABC的面积.
【详解】
（1）选择条件①：
?1?cosC?b?3csinB，由正弦定理可得?1?cosC?sinB?3sinCsinB，
??sinB?0，?1?cosC?3sinC，?3sinC?cosC?1，即2sin?C???1，
6???所以，sin?C?????1??，
6?20?C??，则?选择条件②：
?6?C??6????5?，?C??，解得C?； 636633bsinC?a?ccosB，由正弦定理得sinBsinC?sinA?sinCcosB， 33sinA?sin?????B?C????sin?B?C??sinBcosC?cosBsinC，
?上式可化简为3sinBsinC?sinBcosC，
3sinB?0，??3?C?，，； 0?C??sinC?cosC?tanC?333（2）由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC，可得a2?b2?ab?49，
?a?b??49?40，
又由a?b?13，则?a?b??3ab?49，?ab?322因此，ABC的面积为SABC1?absinC?103. 2【点评】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也参考了三角形面积公式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
18.【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有
?a1?2d?7，解得a1?3,d?2， ...........3分 ??2a1?10d?262n?1)=2n+1；Sn=3n+所以an?3?（n(n-1)?2=n2+2n。 ...........6分 21111=?==
an2?1（2n+1)2?14n(n+1)（Ⅱ）由（Ⅰ）知an?2n+1，所以bn=
111?(-)，...........9分
4nn+1所以Tn=
1111?(1-+?+42231111n+-)=?(1-)=，
nn+14n+14(n+1)n。 ...........12分
4(n+1)即数列?bn?的前n项和Tn=
19. 解析：(1)因为f(x)=sin xcos x+cosx- =sin2x+
-=sin2x+cos2x=
sin
,所以T=
=π. ...........9分
2
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k?Z,得kπ-所以f(x)的单调递增区间为
≤x≤kπ+,k?Z.
,k?Z............12分
(2)略写：值域是[?21,] 22
20. 【解析】
（1） ∵ △AEF是等边三角形，O为EF的中点 ∴ AO⊥EF
又 ∵ 平面AEF⊥平面EFCB， 且平面AEF∩平面EFCB＝EF ∴ AO⊥平面EBCF ∴ AO⊥BE
（2）取CB的中点D，连接OD
如图分别以OE，OD，OA为x，y，z轴建立直角坐标系 A(0,0,3a),E(a,0,0),B(2,23?3a,0) AE?(a,0,?3a),EB=(2?a,23?3a,0)
设平面AEF的法向量为n1?(0,1,0) 平面AEB的法向量n2(x,y,z) ??ax?3az?0 ???(2?a)x?3(2?a)y?0所以n2?(3,?1,1)
所以F—AE—B二面角的余弦值cos??因为F—AE—B二面角为钝二面角，
n1n2n1n2??5 5所以余弦值为? 21.
5． 5?10a?45d?100,?2a?9d?20,（Ⅰ）由题意有，?1 即?1..............2分
ad?2,ad?2,?1?11?a?(2n?79),?a1?9,??a1?1,?an?2n?1,???n9解得? 或?或?..............6分 2 故?n?12d?2,d?.b?2.???n??b?9?()n?1.9?n?9?2n?1（Ⅱ）由d?1，知an?2n?1，bn?2n?1，故cn?n?1，于是
2Tn?1?3579?2?3?4?2222??2n?1， ① 2n?1113579Tn??2?3?4?5?222222
2n?1. ②...............9分 2n①-②可得 111Tn?2??2?222?12n?2?2n?12n?3， ?3?2n2n故Tn?6?
2n?3................12分 n?12aa，得f′(x)＝1－，...............2分 exexa又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得ae22.解法一：(1)由f(x)＝x－1＋
＝e ................4分
(2)f′(x)＝1－
a， xe①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ...............6分
x②当a＞0时，令f′(x)＝0，得e＝a，x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)，f′(x)＜0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． ...............9分
1. xe1令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋x， ..............11分
e(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋
则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g(0)＝1＞0，g?1?1???1?<0， ?1?k?1?ek?1又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，与“方程g(x)＝0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1. 又k＝1时，g(x)＝
1＞0，知方程g(x)＝0在R上没有实数解． xe所以k的最大值为1. ...............14分 解法二：(1)(2)同解法一． (3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋
1. ex1ex直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，即关于x的方程：(k－1)x＝
在R上没有实数解．
1(*) ex1?0，在R上没有实数解． ex1x②当k≠1时，方程(*)化为＝xe.
k?1①当k＝1时，方程(*)可化为
令g(x)＝xe，则有g′(x)＝(1＋x)e.
令g′(x)＝0，得x＝－1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ xxg(x) 当x＝－1时，g(x)min＝? 1? e 1，同时当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞， e?1?从而g(x)的取值范围为??,???.
?e?1?1?所以当∈???,??时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1－e,1)．
e?k?1?综上①②，得k的最大值为1.
2024年江口中学11月14日考题及答案
