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第三章 数列
一 数列的概念 复习题
1．选择题
（1）数列11,13,15,…,2n?1的项数是（ ）．
A．n B．n?3 C．n?4 D．n?5
（1）C 设该数列一共有m项，则2n?1?11?(m?1)?2，得m?1?n?5,m?n?4． （2）若an?n，则an与an?1的大小关系是（ ）． n?2A．an?an?1 B．an?an?1 C．an?an?1 D．不能确定
n1，则an是n的增函数，即an?an?1． ?2n?21?n11n?2（3）在数列?1,0,,,...,2,...中，0.08是它的（ ）．
98n（2）B an?A．第100项 B．第12项 C．第10项 D．第8项 （3）C 令
n?2?0.08，得n?10． 2n2[1?(?1)n]；②an?1?(?1)n； 2（4）以下公式中：①an???2,n为奇数0，2，0...，的通项公式的是（ ）③an??，可以作为数列2，．
??0,n为偶数A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
0，2，0...，的通项公式． （4）D 经检验①②③都可以作为数列2，2．写出下面各数列的一个通项公式：
13579（1）,,,,,...；
48163264（2）3,8,15,24,35,...；
246810（3）?,,?,,?,...
3153563992．解：（1）观察分子是奇数列，分母是成等比数列，
即an?2n?1； 2n?1（2）观察发现该数列的每一项加上1，就变成完全平方数， 即an?(n?1)2?1；
（3）观察分子是偶数列，分母是连续奇数的积， an?(?1)n2n．
(2n?1)(2n?1)3．已知a1?1,an?1?2an(n?N*)，写出它的前5项并归纳出通项公式． an?222?123?1， 3．解：a1?1， a2??， a3?21?23?223212?2?5?1， 2?2， a? a4?5125?2?23252212212 观察a1?1?，a2?，a3??，a4?，a5??，
23245362 归纳得通项公式an?．
n?12?
二 等差数列与等比数列 复习题
1．选择题
（1）已知等差数列{an}的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为
（ ）．
A．?5 B．?4 C．?3 D．?2 （1）B a6?a1?5d?0,a7?a1?6d?0，即?而公差是整数，则d??4．
（2）在等差数列{an}中，a1?3,a100?36，则a36?a56等于（ ）．
A．36 B．38 C．39 D．42
1（2）A 由a1?3,a100?36，得公差d?，a36?a56?2a1?90d?36．
32323?d??，得?4.6?d??3.83， 56（3）数列{an}，{bn}都是等差数列，其中a1?25,b1?75,a100?b100?100，那么数列
{an?bn}的前100项的和是（ ）．
A．0 （3）C S100?B．100 C．10000 D．102400
100(a1?b1?a100?b100)?10000． 2（4）已知{an}是等比数列，且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5等于（ ）．
A．5 B．10 C．15 D．20
（4）A a223?2a3a5?a25?(a3?a5)?25，而an?0，则a3?a5?5．
（5）在等差数列{an}中，若a4?a6?a8?a10?a12?120，则2a9?a10的值（ A．20 B．22 C．24 D．28 （5）C a4?a6?a8?a10?a12?5a8?120,a8?24，
2a9?a10?a9?a9?a10?a9?d?a8．
（6）若a,b,c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（ A．0 B．1 C．3 D．不能确定
（6）A 因为a,b,c成等比数列，则b2?ac，得??b2?4ac??3b2?0． （7）在等差数列{an}中，若a1?a4?a8?a12?a15?2，则S15?（ ）．
A．?15 B．15 C．20 D．?30 （7）D 由a1?a15?a4?a12?2a8，得?a8?2，即a8??2，
而S1515?2(a151?a15)?2?2a8?15a8??30，得S15??30． （8）已知等比数列{a1n}公比q?2，且a1?a3?a5?...?a99?60，则S100?（ A．120 B．100 C．90 D．30 （8）C a2?a4?a6?...?a100?q(a1?a3?a5?...?a99)?30， S100?(a1?a3?a5?...?a99)?(a2?a4?a6?...?a100)?90． （9）已知?1,aa2?a11,a2,?4成等差数列，?1,b1,b2,b3,?4成等比数列，则
b?（ 2A．12 B．?12 C．14 D．12或?12
（9）A 由?1,a1,a2,?4成等差数列，得?4?(?1)?3d,d??1,a2?a1?d??1，）．
）．
）．
）．
?1,b1,b2,b3,?4成等比数列，得b22?4，而b2??1?q2??q2?0，即b2??2． （10）若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（ ）．
A．180 B．108 C．75 D．63 （10）D 记S7?48,S14?60，则S7,S14?S7,S21?S14成等比数列，
即48,12,S21?60成等比数列，得48?(S21?60)?122，得S21?63． 2．填空题
（1）设等差数列{an}公差为?2，如果a1?a4?a7?...?a97?50， 那么a3?a6?a9?...?a99?___________________．
（1）?82 a3?a6?a9?...?a99?(a1?a4?a7?...?a97)?33?2d??82． （2）在等差数列{an}中，若a12?23,a42?143,an?263，则n?________________． （2）72 d?a42?a12?4，an?a12?(n?12)d?263，
42?1223?4(n?12)?263，得n?72．
（3）在等比数列{an}中，若a4?5,a8?6，则a2?a10?_______，a6?_______． （3）30,30 a2?a10?a4?a8?30,a2?a10?a62?30，而a6?a4q2?5q2?0，得a6?30．
（4）an?2n?1,bn?1(a1?a2?...?an)，则{bn}的前n项的和为________________． nn25nn1（4）? a1?a2?...?an?(3?2n?1)?n2?2n，得bn?(n2?2n)?n?2，
222nnn25n {bn}的前n项的和(3?n?2)??．
222（5）已知a,b,c成等差数列，x,y,z成等比数列，且均为正数， 则(b?c)lgx?(c?a)lgy?(a?b)lgz?________________． （5）0 记公差为d，
则?dlgx?2dlgy?dlgz??d(lgx?lgz?2lgy)??dlgxz??dlg1?0． 2y3．在等比数列{an}中，已知前10项的和为5，前20项的和为15，求前30项的和．
3．解：记前10项的和为S10，前20项的和为S20，前30项的和为S30， 则S10,S20?S10,S30?S20成等比数列，即5,10,S30?15成等比数列， 得5(S30?15)?102，即S30?35．
4．（1）设数列{an}的前n项的和为Sn?an2?bn?c（a,b,c为常数且a?0），试判断 数列{an}是不是等差数列．
（2）在数列{an}中，其前n项的和为Sn，且S1,S2,...,Sn,...是等比数列，其公比q?1， 求证：数列{an}(n?2)也是等比数列．
4．（1）解：由an?Sn?Sn?1(n?2)，得an?an2?bn?c?a(n?1)2?b(n?1)?c， 即an?2an?a?b(n?2)，而a1?S1?a?b?c， 当c?0时，a1?a?b，满足an?2an?a?b(n?1)， 即数列{an}是等差数列；
当c?0时，a1?a?b?c，不满足an?2an?a?b(n?1)， 即数列{an}不是等差数列．
（2）证明：因为S1,S2,...,Sn,...是等比数列，其公比q?1，
S1(1?qn)a1(1?qn)a1(1?qn?1)? 所以Sn?，Sn?1?，
1?q1?q1?q 而an?Sn?Sn?1(n?2)，
a1(1?qn)a1(1?qn?1)a??1(qn?1?qn)(n?2)， 得an?1?q1?q1?qa1an?1qn?qn?1q(qn?1?qn)nn?1(q?q)，则 而an?1??n?1n?n?1n?q(n?2)， 1?qanq?qq?q 得数列{an}(n?2)也是等比数列．
5．设{an}是一个公差为d(d?0)的等差数列，它的前10项的和S10?110，且a1,a2,a4 成等比数列．（1）证明：a1?d；（2）求公差d的值和数列{an}的通项公式． 5．（1）证明：因为a1,a2,a4成等比数列，得a1a4?a22，
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