北师大版2021版高考数学（理）一轮复习
第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系练习
[基础题组练]
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数
94是( )
A．至多为1 C．1
解析：选B.由题意知，4
B．2 D．0
2
2
x2y2
m＋n22
>2，即m＋n<2，
22
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
94
2．椭圆4x＋9y＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( ) 2A．－ 34C．－ 9
3B．－
29D．－
4
2
2
2
2
x2y2
解析：选A.设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x1＋9y1
＝144，4x2＋9y2＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
2
2
y1－y22
＝k，代入解得k＝－. x1－x23
x2y22
3．已知直线y＝－x＋1与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，
ab2
则线段AB的长是( )
A.22
3
42B．
3D．2
C.2
c2x22
解析：选B.由条件知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y＝1，联立直线方程与
a22
1?42?4
椭圆方程可得交点坐标为(0，1)，?，－?，所以|AB|＝.
3?3?3
πxy4．(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B4ab→→
两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )
2
2
3 22 2
2 33 3
2
2
A.C.
B．D．
xy??2＋2＝1，22224
解析：选B.由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立?ab得(b＋a)y＋2bcy－b??y＝x－c，
??
＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x，y)，B(x，y)，则?－byy＝??a＋b，1
1
2
2
4
12
2
2
－2bcy1＋y2＝22，
a＋b2
→→又AF＝2FB，
－2bc－y2＝2，2
a＋b214c2
所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得所以＝，所以e＝，224
2a＋b3－b2
－2y2＝2.
a＋b2
?????
2
故选B.
→→→2
5．设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP＋OF2)·PF2＝0(O为坐
4标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 C．2
B．3 D．1
x2
→→→→→→
解析：选D.因为(OP＋OF2)·PF2＝(OP＋F1O)·PF2 →→
＝F1P·PF2＝0，
所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m＋n＝12，2mn＝4，mn＝2， 1
所以S△F1PF2＝mn＝1.
2
6．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为
54________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
2
2
x2y2
y＝2（x－1），??22
2
由方程组?xy消去y，整理得3x－5x＝0.
＋＝1，??54
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝（x1－x2）＋（y1－y2） ＝（1＋k）[（x1＋x2）－4x1x2] ＝ 222
2
53
?5?2?552
（1＋2）???3?－4×0?＝3. ????
55
答案：
3
7．直线m与椭圆＋y＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直
2线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．
1x中
解析：由点差法可求出k1＝－·，
2y中所以k1·
x2
2
y中11＝－，即k1k2＝－. x中22
1
答案：－
2
x2y2
8.从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交
ab点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
y0bkOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，
ca所以－＝－，y0＝，
y0cbabcabc?（－c）?把P?－c，?代入椭圆方程得＋2＝1， a?a2b?c?21c2?所以??＝，所以e＝＝.
a2?a?2
答案：
2
2
2
?bc??a???
2
9．已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋22＝0的距离是3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．
|c＋22|
解：(1)由题意得b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线x－y＋22＝0的距离d＝＝3，所以c＝2.
2
所以a＝b＋c＝3，所以椭圆E的方程为＋y＝1.
3
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线
2
2
x2
2
y＝kx＋1，??2－6k22
l的方程为y＝kx＋1，联立?x得(1＋3k)x＋6kx＝0，所以x＝0，x＝AB2， 2
1＋3k＋y＝1??3
6|k|36k（1＋k）2
所以|AB|＝1＋k2，|AB|＝22. 1＋3k（1＋3k）
2
2
2
??1?21?112
令t＝1＋3k，t∈(1，＋∞)，则|AB|＝4×?－2??＋＋1?，所以当＝，即k＝1，得k＝±1时，
t4??t?t?
2
2
9322
|AB|取得最大值为，即|AB|的最大值为，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
22
32
因为2<，所以当弦AB的长度最大时，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
2
x2y2
10．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，
abF2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝. (1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，
35
?1?点Q?，0?，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围． ?4?
53
解：(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，所以r1＝a，r2＝a.
44
22
r21＋r2－|F1F2|
在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝
2r1r2
?5a?＋?3a?－22?4??4?
3????
53
2×a×a44
22
＝， 5
解得a＝2，因为c＝1，所以b＝a－c＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
222
x2y2
xy??＋＝1222
(2)联立方程，得?43，消去y得(3＋4k)x＋8kmx＋4m－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
??y＝kx＋m－8km4m－1222
x1＋x2＝2，x1x2＝2，且Δ＝48(3＋4k－m)＞0，①
3＋4k3＋4k设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝
2
22
x1＋x2
2－4km3m＝2，y0＝kx0＋m＝2， 3＋4k3＋4k?1?因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q?，0?，M为AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以
?4?
3m22
3＋4k3＋4kk·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②
－4km14k2－3＋4k4
?3＋4k?，整理得16k4＋8k2－3＞0，即(4k2－1)(4k2＋3)＞0，解得k＞1或
把②代入①得3＋4k＞?－?4k?2?
2
2
2
k＜－，故k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.
22
[综合题组练]
1
2
??
1??1??
??
x2y2
1．(一题多解)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是
abM(－4，1)，则椭圆的离心率是( )
1A. 2C.3 2
B．
2 25 5
D．
??
解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x，y)，B(x，y)，分别代入椭圆方程，得?xy??a＋b＝1，
1
1
2
2
2
22222x2y211
2＋2＝1，aby1－y2b2x1＋x2y1－y2b21c两式相减得＝－2·.因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以2＝，e＝＝
x1－x2ay1＋y2x1－x2a4a3?b?1－??＝，故选C. 2?a?
2
x2y22222222
法二：将直线方程x－y＋5＝0代入2＋2＝1(a>b>0)，得(a＋b)x＋10ax＋25a－ab＝0，设直线与
ab10a10a椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－22，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以2＝
a＋ba＋b28，解得a＝2b，又c＝a－b＝3b，所以e＝＝2
2
2
2
ca3
.故选C. 2
x2y2
2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线
ab与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为( )
A．2－3 C.2＋1
B．2－1 D．2＋3
解析：选D.法一：可设|PF1|＝t，则|QF1|＝2|PF1|＝2t， 由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－t，|QF2|＝2a－2t， |PQ|＝4a－3t，
北师大版2021版高考数学(理)一轮复习第九章平面解析几何第5讲椭圆第2课时直线与椭圆的位置关系练习含答案
