课时知能训练
一、选择题 1．(2020·湛江调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
【解析】 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)， 设抛物线方程为y2＝2p1x或x2＝－2p2y， 则(－3)2＝2p1或1＝6p2， 1
∴2p1＝9或2p2＝，
3
1
∴抛物线方程为y2＝9x或x2＝－y，
3
则y2＝9x或y＝－3x2. 【答案】 D
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4 B．6 C．8 D．12 【解析】
如图，抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，过抛物线上一点P作准线的垂线PE，连结PF，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6. 【答案】 B
3．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( ) 11
A．(，－1) B．(，1)
44C．(1,2) D．(1，－2) 【解析】
如图，∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．
过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点． 1
当y＝－1时，由1＝4x得x＝. 4
1
所以点P的坐标为(，－1)．
4
【答案】 A
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )
A．43 B．8 C．83 D．16
【解析】 由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2,0)， n－0
设A点的坐标为(－2，n)，则＝－3，解得n＝43，
－2－2又PA⊥l，由(43)2＝8x，得x＝6. ∴P(6,43)， ∴|PF|＝
6－22＋
43－02＝8.
【答案】 B
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B两点在抛物线上，
?1＝2px1， ①?y2∴? ?y22＝2px2， ②?
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4， y1－y2
又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，
x1－x2p
∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
2
【答案】 B 二、填空题
6．抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为________． a
【解析】 由题意知＝－2，∴a＝－8.
4【答案】 －8
x216y2
7．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．
3p2【解析】 双曲线的左焦点坐标为(－ ∴－
p2p
3＋＝－，∴p2＝16， 162
p2p
3＋，0)，抛物线的准线方程为x＝－， 162
又p＞0，∴p＝4.
【答案】 4 8．(2020·广州模拟)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 【答案】 x2＝12y 三、解答题
图8－8－1
9．已知如图8－8－1，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
pp
【解】 (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.
22∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)，M(0,2)， 4
∵F(1,0)，∴kFA＝.
33
∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
4
4
则FA所在直线的方程为y＝(x－1)．
33
MN所在直线的方程为y－2＝－x.
4
?解方程组?3
y－2＝－x?4
y＝
84
∴N(，)．
55
4
x－13
?，得?4
y＝?5
8x＝5
.
10．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程； →→
(2)若FA＝2BF，求直线l的方程．
【解】 (1)由题意可知，F(1,0)．∵直线l的斜率为1， ∴直线l的方程为y＝x－1，
??y2＝4x联立?，消去y得x2－6x＋1＝0
?y＝x－1?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，
x1＋x2
∴所求圆的圆心坐标为(3,2)，半径r＝＋1＝4，
2
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16
(2)由题意可知直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
??y＝kx－1由?
?y2＝4x，?
，
得ky2－4y－4k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4??y1＋y2＝k， ①则? ??y1·y2＝－4， ②
→→
由FA＝2BF，得(x1－1，y1)＝2(1－x2，－y2) ∴y1＝－2y2③
由①②③得k2＝8，k＝±22 ∴直线l的方程为y＝±22(x－1)． 11．(2020·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝42. (1)求抛物线C的方程；
→→→→
(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA＝aAF，MB＝bBF，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．
??y＝x
【解】 (1)联立方程?得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝4p2＋4p2＝
?x2＝2py?
22p，
由22p＝42得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y＝kx＋1，则直线l与x轴交点为1
M(－，0)，记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
k
??y＝kx＋1由?得x2－4kx－4＝0， ?x2＝4y?
∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)>0， ∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.
1→→
由MA＝aAF，得(x1＋，y1)＝a(－x1,1－y1)，
kkx1＋1kx2＋1y1
∴a＝＝－，同理可得b＝－，
kx1kx21－y1kx1＋1kx2＋1x2＋x1
∴a＋b＝－(＋)＝－(2＋)＝－1，
kx1kx2kx1x2
∴对任意的直线l，a＋b为定值－1.
(广东专用)2020高考数学总复习 第八章第八节 课时跟踪训练 理
