努力的你，未来可期！
“正六边形”考点透析
正六边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在中考试题中，常考查到与之相关的线段、弧、面积、角的计算及规律探索等.现结合近年来的有关中考试题加以归类剖析. 一、线段和弧的计算
例1 如图1，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距
OM和BC的长分别为( )
(A) 2,?3 (B)23,? (C)3,2?4? (D)23, 33
分析及解答 该题考查了正多边形和它的外接圆中的有关计算，主要应用正六边形 的性质和弧长的公式进行计算. 具体解答如下:
连结BO,OB?4,?MB?2.
根据勾股定理，得OM?42?22?23, 又BC的长度=故选D. 二、角的计算
例2 如图2，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则
60?4?4??. 1803?PAB =( )
(A)30° (B)35° (C)45° (D)60°
分析及解答 该题的解决主要是利用切线和正六边形的性质.具体解答如下:
努力的你，未来可期！
连结OA,OB，则?OAB是等边三角形， ??OAB?60?.
PA是⊙O的切线，
??OPA?90?，
又
??PAB?90??60??30?. 故选A.
例3 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形 的一边重合并叠在一起，如图3，则?3??1??2= °.
分析及解答 该题的解决思路是求出特殊正多边形的每个内角是多少，进而求出所求的答案.具体解答如下:
正三角形的每个内角: 180??3?60?,
利用多边形的内角和公式分别求得正方形的每个内角是90°, 正五边形的每个内角是(5?2)?180??5?108?, 正六边形的每个内角是(6?2)?180??6?120?,
??3??1??2?(90??60?)?(120??108?)?(108??90?)?24?.
故应填:24.
例4 如图4，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半.当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为 度.
分析及解答 该题考查了正多边形与圆的关系，明确正六边形的中心角是60°是解决本题的关键.具体解答如下: 观察图形不难看出，
第一个到第二个OA转过了60°;
努力的你，未来可期！
第二个到第三个转过了120°;
第三个到第四个又转过了60°，所以总共转动了240 °.
即小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为240度.
故应填:240. 三、面积的计算
例5如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于 .
l幻)
分析及解答 该题考查了在外接圆中三角形、扇形和弓形的面积计算，该题的计算量 较大，辅助线的添画也显得重要.具体解答如下:
连结CO、DO、EO.CO交BD于点M,EO交DF于点N，过点O作OZ?CD于点Z.
六边形ABCDEF是正六边形，
?BC?DC?DE?FE,?BOC??DOC??EOD??EOF?60?.
根据垂径定理，得CO?BD,EO?DF,MB?DM,FN?DN. 在Rt?OMB中，BO?4,?MOB?60?，
?MB?BOsin60??23,MO?BOcos60??2，
?DB?2MB?43.
于是有?BDO的面积?11?DB?MO??43?2?43. 22同理?FDO的面积也是43. ?DOC?60?，半径CO?DO?4, ??COD是等边三角形， ??OCD??CDO?60?.
努力的你，未来可期！
在Rt ?CZO中，CO?4,ZO?COsin60??23，
?S扇形DOC60??4218?S?DOC=??4?23=??43. 360238816?阴影部分的面积=43+43+?-43+?-43=?.
33316 故应填：?.
3 四、规律探索
例6 如图6，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3，的外接圆与正六边形
A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为( )
(A)
81381324381 (B) (C) (D)
29282929
分析及解答 该题的解决主要是利用切线的性质、正多边形和其外接圆的关系.特别提示:正六边形的边长与其外接圆的半径相等!在作辅助线时，见切点，连圆心!具体解答如下: 连结D2O,E1O,D1O.
六边形A1B1C1D1E1F1是正六边形，
??D1OE1?60?， ?D1OE1是等边三角形.
正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
?D2O?E1D1，D2O?33E1D1??2， 223?2. 2?正六边形A2B2C2D2E2F2的边长为
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同理可求得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长为(32)?2. 239813)?2?8,故选D. 22 故可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长为: ( 五、其它型题目
例7 如图7，已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点，连结任意两点均得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为( )
(A)
1225 (B) (C) (D) 4539
分析及解答 该题涉及到勾股定理、正六边形的性质和概率公式.具体解答如下: 不妨连结FA,FE,AE，过点F作FN?AE ,垂足是点N.
六边形ABCDEF是正六边形，
?FA?EF?1，?AFE?120?, ??EAF?30?，?NA?3，?AE?3. 2 可以发现:从任意一点，连结两点所得的所有线段一共有15种情况，而取得长度为3的线段只有6种情况.
所以，在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为故选B.
2. 5
中考数学复习微专题：“正六边形”考点透析
