类型一 新定义型
例1、对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6． （1）计算：F(243)，F(617);
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝
F(s)
,当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值． F(t)
【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；
F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y，
∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6． ∵F(t)＋F(s)＝18，
∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴?
?x＝1
?x＝2?x＝3?x＝4?x＝5?x＝6或?或?或?或?或?． ?y＝6?y＝5?y＝4?y＝3?y＝2?y＝1
∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴?∴?
?x＝1
?x＝4?x＝5或?或?， ?y＝6?y＝3?y＝2?F(s)＝6
?F(s)＝9?F(s)＝10或?或?，
?F(t)＝12?F(t)＝9?F(t)＝8
∴k＝
F(s)1F(s)F(s)5
＝或k＝＝1或k＝＝, F(t)2F(t)F(t)4
5∴k的最大值为．
4
1
例2、如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形． 类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探
索a，b，c满足的等量关系．
【解答】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下： ∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，
∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE，
??∠1＝∠2
在△ABD和△BCE中，?AB＝BC，
??∠ABD＝∠BCE∴△ABD≌△BCE(ASA);
(2)△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示： ∵△DEF是正三角形，
2
∴∠ADG＝60°，
13
在Rt△ADG中，DG＝b,AG＝b,
221?2?3?22
在Rt△ABG中,c＝??a＋2b?＋?2b?,
????222
∴c＝a＋ab＋b．
1
例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y＝x与
kky＝(k≠0）的图象性质． x1k小明根据学习函数的经验，对函数y＝x与y＝,当k＞0时的图象性质进行了探究．
kx下面是小明的探究过程：
1k（1）如图所示，设函数y＝x与y＝图象的交点为A，B，已知A点的坐标为(－k，－1)，
kx则B点的坐标为________；
（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点． ①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM＝PN．
k?
证明过程如下：设P?． ?m, ?,直线PA的解析式为y＝ax＋b(a≠0）
?m?
??－ka＋b＝－1
k， 则 ?
ma＋b＝ ?m?
解得 ?
?a＝?b＝
________
∴直线PA的解析式为________
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为(1，k)(k≠1）时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
3
∵A点的坐标为(－k，－1)， ∴B点的坐标为(k，1)． 故答案为：(k，1)．
k?（2）①证明过程如下，设P?m,． ??,直线PA的解析式为y＝ax＋b(a≠0）
?m?
??－ka＋b＝－1
则?k??
ma＋b＝，
m??a＝1
解得：m，
?b＝km－1
∴直线PA的解析式为y＝1kmx＋m－1．
当y＝0时，x＝m－k， ∴M点的坐标为(m－k，0)．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为??k?m,m???
,
∴H点的坐标为(m，0)， ∴MH＝xH－xM＝m－(m－k)＝k． 同理可得：HN＝k． ∴MH＝HN， ∴PM＝PN．
?a＝1
故答案为：?m；y＝1k?b＝kmx＋m－1．
m－1②由①可知，在△PMN中，PM＝PN， ∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k． 当P点坐标为(1，k)时，PH＝k， ∴MH＝HN＝PH，
∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°， ∴△PAB为直角三角形．
4
当k＞1时，如图1，
S△PAB＝S△PMN－S△OBN＋S△OAM,
111
＝MN﹒PH－ON﹒yB＋OM﹒|yA|, 222111
＝×2k×k－(k＋1)×1＋(k－1)×1, 2222
＝k－1;
当0＜k＜1时，如图2，
S△PAB＝S△OBN－S△PMN＋S△OAM,
121
＝ON﹒yB－k＋OM﹒|yA|, 22121
＝(k＋1)×1－k＋(1－k)×1, 222＝1－k．
例4、问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，
求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生
变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG＞AE)，经过探索，发现：2 S四
边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG＜AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1,之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝29,求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，
点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝10,连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
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2024年中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型
