“定区间动轴法”求区间最值
所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[a,b]（或(a,b)）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴x0?a、
a≤x0≤b、x0?b三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大
值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分x0?a?ba?b和x0≥两种情况进行22讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、
思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行.
1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值
例1已知f(x)?x?4x?3,x?R，函数g(t)、h(t)表示函数f(x)在区间[t,t?1]上的最小值，最大值，求g(t)、h(t)表达式.
分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[t,t?1]在数轴上相对固定，让对称轴x??2的区间[t,t?1]内外移动，即分成?2?t；t≤?2≤t?1；?2?t?1三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数f(x)在区间[t,t?1]上的最小值.而只需分?2≤
2t?(t?1)t?(t?1)与?2?两种情况讨论便可求出f(x)在区间[t,t?1]上的最大值. 22解：由f(x)?x?4x?3?(x?2)?1，知图象关于x??2对称，结合图象知， 当?2?t，即t??2时，g(t)?f(t)?t?4t?3；
而当t≤?2≤t?1，即?3≤t≤?2时，g(t)?f(?2)??1； 当t?1??2，即t??3时，g(t)?f(t?1)?t?6t?8.
2222· t t?1 · x ?t2?6t?8,t?(??,?3)?∴g(t)???1, t?[?3,?2].
?t2?4t?3,t?(?2,??)?t?(t?1)52，即t≥?时，h(t)?f(t?1)?t?6t?8； 22t?(t?1)52当?2?，即t??时，h(t)?f(t)?t?4t?3.
22当?2≤
· 2·t? 1 · t?1 t2x 第 1 页 共 6 页
5?2t?6t?8,t?[?,??)??2∴h(t)??.
?t2?4t?3,t?(??,?5)??2评注：本题采用了“定区间动轴法”， 分?2?t；t≤?2≤t?1；?2?t?1三种情况和?2≤
t?(t?1)t?(t?1)；?2?两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、22思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.
此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.
例2已知二次函数y?f(x)的定义域为R，f(1)?2且在x?t处（t?R）取得最值，若y?g(x)为一次函数，且f(x)?g(x)?x?2x?3
(1)求y?f(x)的解析式
(2)若x?[?1,2]时，f(x)≥?1恒成立，求t的取值范围
21,2]分析：（2）若x?[?时，f(x)≥?1恒成立，条件的实质即为：当x?[?1,2]时f(x)的最小值在于或等于?1，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图象，借助函数
图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论.
解：(1)设f(x)?a(x?t)?b，∵g?x?为一次函数，∴a?1
2又f(1)?2，∴(1?t)?b?2，∴b??t2?2t?1，
∴f?x??x?2tx?2t?1
22(2)即fmin(x)≥?1
①当t??1时，[f(x)]min?f(?1)=2?4t≥?1，得t≥?3 42②当?1≤t≤2时，[f(x)]min?f(t)=?t?2t?1≥?1，得1?3≤t≤1?3 ③当t?2时，[f(x)]min?f?2??4?2t?1≥?1，得t≤3 由①，②，③得：1?3≤t≤3.
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评注：给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值.
2．通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解
例3设函数f(x)=x2-4x-5.
当k>2时，求证：在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 分析：通过转化思想，将文字语言y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方，转化为符号语言g(x)=k(x+3)-(-x+4x+5)>0，当x?[21,5时]恒成立.而当
x?[1,5时，]g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)>0恒成立只需[g(x)]min?0，所以，
本题的实质为区间最值问题.
解：当x?[1,5]时，f(x)=-x+4x+5.
2g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5) =x2+(k-4)x+(3k-5)
骣4-k÷k2-20k+36， =?x--÷?÷?桫244-k<1. 又-1＃x5， 24-k4-k① 当-1?， 1，即2
k2-20k+3612g(x)min=-=-轾k-10-64. ()臌44犏16?(k10)2<64,∴(k-10)-64<0，
22则g(x)min>0. ②当
4-k<-1，即k>6时，取x=-1， g(x)min＝2k>0. 2由 ①、②可知，当k>2时，g(x)>0，x?[1,5].
因此，在区间[-1,5]上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
评注：因为k>2条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过转化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉.
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例4设a为实数，记函数f(x)?a1?x2?1?x?1?x的最大值为g(a)． （Ⅰ）设t?1?x?1?x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)，求m(t)和表达式及t的取值范围．
（Ⅱ）求g(a).
分析：本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值. 解：（I）
t?1?x?1?x，
∴要使t有意义，必须1?x≥0且1?x≥0，即?1≤x≤1．
t2?2?21?x2??2，4?，t≥0，①
2?． ∴t的取值范围是?2，??由①得1?x?∴m?t??a?212t?1， 21?12?t?1??t?at2?t?a，t??2，2?．
??22??122，2?at?t?a，t????的最大值． 2112注意到直线t??(a?0)是抛物线m?t??at?t?a的对称轴，分以下几种情况讨
a2（II）由题意知g?a?即为函数m?t??论．
2?的图像是开口向上的抛物线的一段，由（1）当a?0时，函数y?m?t?，t??2，??t??12，2??0知m?t?在???上单调递增，∴g?a??m?2??a?2． a??2?，∴g?a??2． （2）当a?0时，m?t??t，t??2，2?的图像是 （3）当a?0时，函数y?m?t?，t??2，??开口向下的抛物线的一段． 若t??21?(0,2)，即a??，则g?a??m2a?2??2．
若t??2111?1?,?]，则g?a??m?????a??[2,2]，即a?[?． 222aa?a?若t??1?1?0?，则g?a??m?2??a?2． ??2，???，即a???，a?2?第 4 页 共 6 页
1?a?2，??a?0，?2?121?，?≤a≤?，综上有 g?a????a? 2a22??22，a??.?2?评注：此题也给我们启发：遇陌生或比较棘手的问题时，可采用化归、转化思想，将其
转化为熟知的问题、简单的问题，从“数”方面难以入手时，可考虑借助形来说理.
例5求函数y?sinx?psinx?q的最值.
分析：由已知条件的形式特点，可采用配方法，从而将问题转化为二次函数区间最值问题，但要注意?1≤sinx≤1的条件限制，在此条件限制下，其实质即为区间最值问题，采用“定”区间“动”轴法，结合图形便可求出函数f(x)在区间[?1,1]上的最值.
2p24q?p2解：y?sinx?psinx?q?(sinx?)?
2424q?p2pp(1)若?1≤≤1，即?2≤p≤2，则当sinx??时，ymin?；最大值在
422sinx?1或sinx??1时取得.
p(2)若???1，即p?2，则当sinx??1时，ymin?1?p?q；当sinx?1时，
2ymax?1?p?q.
(3)若?p?1，即p??2，则当sinx?1时，ymin?1?p?q；当sinx??1时，2ymax?1?p?q.
如图所示： y y y ?1 1 1 O 1 x x x ?1 O ?1 O (1) (2) (3)
评注：数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.
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“定区间动轴法”求区间最值
