课题名称： 1.2.1 任意角的三角函数（1） 课程模块及章节： 第四章 第二节 教师二次备课 教学背景分析 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 教学目标 1．知识与技能 (1)熟记任意角的三角函数的定义．(2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 教学重点和难点 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)，以及这三种函数的第一组诱导公式．公式一是本小节的另一个重点． 难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 教学准备、教学资源和主要教学方法 问题学习法、自主学习与合作探究相结合。 学生为主的活动 设计意图 创设情境，激发学生的求知欲。 教学过程 教学环节 导入新课 教师为主的活动 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函学生开始数吗? 思考。 把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。 一起朗读目标。 目标引领 以目标引 领学习的全过程。 活动导学 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. (1)角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ (2)对于确定的锐角α，sinα、cosα、tanα的值是否随P点 学生带着在终边上的位置的改变而改变？ 问题去阅(3)在问题1中，取|OP|＝1时，sinα，cosα，tanα的值怎样读课本。 表示？ 1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长 度为半径的圆为单位圆． 2．定义： 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么： 图1－2－1 (1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x； 学生自己yy进行尝试(3)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)． xx和记忆。 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余 弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，统称为三角函数． 3．正弦函数sinα的定义域是R；余弦函数cos α的定义域是R； ??π正切函数tanα的定义域是?x?x∈R，且x≠kπ＋2，k∈Z?. ??? (1)已知角α的终边过点P(－1,2)，cosα的值为( ) 5255A．－ B．－5 C. D． 552 (2)已知θ的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求sinθ，cosθ， tanθ. x522【解】(1)由题意得：r＝－1＋2＝5，cosα＝＝－. r5 a222(2)当a>0时，r＝a＋a＝2a，得sinθ＝＝， 2a2 a2a cosθ＝＝，tanθ＝＝1； a2a2 22当a<0时，r＝a＋a＝－2a，得 a2a2asinθ＝＝－，cosθ＝＝－，tanθ＝＝1. 22a－2a－2a 22即a>0时，sinθ＝，cosθ＝，tanθ＝1； 总结规律22 教师通过亲身画图形，讲解，引导回忆、类比旧知理解新知。 通过例1来加深对“任意角的三角函数”的定义的认识理解。 提高学习效率。 (1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cos α，tanα的值； (2)已知角α的终边在直线y＝3x上，求sinα，cosα， tanα的值． 22【解】 (1)r＝－4a＋3a＝5|a|.若a＞0，则r＝5a， y3a3x－4a4α是第二象限角，则sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－， r5a5r5a5 y3a3 tanα＝＝＝－， x－4a4 若a＜0，则r＝－5a，α是第四象限角，则 343sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 554 (2)因为角α的终边在直线y＝3x上， 学生自己所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点． 动手尝22则r＝a＋3a＝2|a|(a≠0)． 试，检验所学。 若a＞0，则α为第一象限角，r＝2a，所以 a<0时，sinθ＝－22，cosθ＝－，tanθ＝1. 22 通过变式，增强理解与把握。 sinα＝3a3a13a＝，cosα＝＝，tanα＝＝3. 2a22a2a若a＜0，则α为第三象限角，r＝－2a， 3a3所以sinα＝＝－， －2a2a13acosα＝－＝－， tanα＝＝3. 2a2a当堂评价 1．cos?－?11π?1133等于( ) A. B．－ C. D．－ 6?2222?11π?＝cos?－2π＋π?＝cosπ＝3. 【解】 cos?－???6?6?62??2．下列说法： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sinα>0，则α是第一、二象限的角； ④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点， 则cosα＝－xx2＋y2，其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解】 根据诱导公式(一)可知①正确；因为sin 0＝sinπ＝0，故②不正确；③中因为sinππ＝1>0，但不是第一、二象限角，22 学生合作交流。 学生自己检测自己的学习效果。 通过练习让学生巩固新知，达成目标。 故③错误；④中应为cosα＝xx2＋y2，所以只有①正确，应选B. 3．使得lg(cosαtanα)有意义的角α是第________象限角． 板书设计 1.2.1 任意角的三角函数（1） 任意角的三角函数的定义: 例 学习目标 三角函数： 变式 练习 1、…… 正弦、余弦、正切： 2、…… 教学反思
人教版高中数学必修四1.2.1 任意角的三角函数第一课时教学设计
