第十二章 无穷级数
一. 常数级数的审敛，常数级数的性质
收敛：
12.3下列级数中收敛的是( )； A．
???n?1n?1?n B．?n?1
n?1n?1??1???n?C．??? D．??1?n?
2?n?1?n?1?3n?2??12.7 下列级数中收敛的是( ) A.
?n?1????1002n?1n1 B.? C.?n(|q|?1) D.?n 2n?1n?13n?1n?1qn?1312.11 下列级数中收敛的是( )；
???111?n2?A．? B．?n C．?ln(1?) D．??1?n?
n3?n?12n?1n?1n?1?n?12?12.15 下列正项级数中收敛的是( )；
?n??n12nA．? B．?n C．?ln(1?) D．?
nn?12n?1n?12n?1n?1n(n?1)?12.45 已知级数
?un?1?n?a，则级数?(un?un?1)的和s?
n?1?
绝对收敛：
12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( )； A．?(?1)n?1?n?1???n12nnnnn?1 B． ?(?1)sin C．?(?1)n D．?(?1)2n?1n3n(n?1)n?1n?1n?112.17 下列级数中绝对收敛的是( ) (A)
?n?1??(?1)n (B) n?1(?1)n ?n?1nn?1?(?1)n?1(C) ? (D)
ln(n?1)n?1(?1)n ?nn?1?12.21 下列级数中满足绝对收敛的是( )；
???n1nn1nnA． ?(?1) B．?(?1)sin C．?(?1) D．?(?1)n
2n?1nnn?1n?1n?1n?1n?
12.19 下列级数中条件收敛的是( ) (A)
?(?1)n?1??n?11 (B) n?(?1)nn?1??1 2nn(C) ?(?1) (D)
n?1n?1n?(?1)nn?11
n(n?1)12.23 下列级数中满足条件收敛的是( )；
???nn?11nnn1A．?(?1) B．?(?1) C． D． (?1)(?1)??2n2n?1n3n?1nn?1n?1n?1?n
发散：
12.2 下列级数级数中发散的是( ).
1(A) ?(1?cos) (B)
nn?1??2nsinn?1??1 n3(n!)2(C) ? (D)
(2n)!n?1?1?n ?21?nn?112.10 下列级数中发散的是( ).
1(A) ?(1?cos) (B)
nn?1??2nsinn?1??1 n3(n!)2(C) ? (D)
(2n)!n?1??n?11 n12.5下列级数中发散的是( )
A.?n?1???(?1)n1 B.?n(|q|?1) C.?n?1 D.?ln(1?n)
n(n?1)n?13n?1n?1q(?1)n?
性质： 12.1 若级数
??un?1?n收敛，则下列级数不收敛的是( )．
(A)
?2un?1n (B)
??(2?u) (C) 2??unn?1n?1??n (D)
?un?2?n
12.9 若级数?un收敛，则下列级数不收敛的是( )．
n?1(A)
?10un?1?n (B)
??(10?u) (C) 10??unn?1n?1??n (D)
n?10?u?n
12.20 若级数
??un?1n收敛，则下列级数中发散的是( ).
(A)
?10un?1?n (B)
?un?1??n?10
(C) 10?
?un?1n (D)
?(10?u)
nn?112.4 如果级数A．必收敛
?un?1??n条件收敛，则
?|un?1?n| ( ).
C. 不一定收敛
D. 无法判断
B. 必发散
12.12 如果级数
?un?1n收敛，则极限limun( ).
n??A．存在 B. 不存在 C. 等于零 12.16 如果任意项级数
? D. 无法判断
?un?1??n绝对收敛，则下列说法正确的是 ( ).
??A．
?un?1n必发散 B.
??un?1n必收敛 C.
?|un?1n|必发散 D.
?|un?1n|不一定收敛
12.18 若级数
?un?1n收敛，则lim(un?1)? ( ).
n??(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) ?1 12.25 级数
?un?1?n的部分和数列{sn}有界是该级数收敛的( )；
(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 非充分非必要条件. 12.29 若级数
?(1?u)收敛，则limunn?1n???n?
12.36 若级数
?un?1?n收敛，则lim(un?un?2013)? n??212.42 limun?0是
n???un?1?n收敛的 条件.
绝对收敛、条件收敛还是发散：
12.50 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。
??n(?1)n?1nn （1）?(?1) （2）?(?1)n （3）?
22n?12n?1n?1n?1n?1?n12.55 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。
??2n1nn（1）?(?1) （2）?(?1)n （3）?(?1)n 3n?12nn?1n?1n?1n?
二. 幂级数的收敛半径，收敛域，和函数
xn12.30 幂级数?的收敛半径为
n?1n?12.37 幂级数
?(?1)n?1??n?1xn的收敛半径为 nxn12.40 幂级数?的收敛半径R? nn?1n?2
xn12.22 幂级数?(?1)的收敛域为( ).
nn?1?nA．[?1,1] B.(?1,1] C.[?1,1) D. (?1,1)
?xn12.26 幂级数?的收敛域为( )；
nn?1(A) (?1,1)； (B) [?1,1)； (C) (?1,1]； (D) [?1,1].
xn12.33 幂级数?的收敛域为 。
n?1n?xn12.35 幂级数?2的收敛域为 。
n?1n?12.49 幂级数
?
n?1
?
xn
的收敛域为 。 n
12.51 求幂级数
n?1nx?的收敛域，并求和函数。 n?1??12.57 求幂级数?n(n?1)x的收敛域，并求和函数。
n?1n12.58 求幂级数??1n?1x的收敛域，并求和函数。
n?0n?1?(?1)n?1x2n?112.52 求幂级数?的收敛域，并求和函数。
2n?1n?1
(?1)nx2n12.6 ?在???x??的和函数是f(x)?( )
n!n?0?A. e??x2 B. ex C. ?e?x D.?e
22x2(?1)nx2n12.8 ?在???x??的和函数是f(x)?( )
(2n)!n?0A.e?x B.ex C.cosx D.sinx
12.24 幂级数
?nxn?1?n?1的和函数为( ).
A．?11x1 B. C. D. ?2222(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)12.65求幂级数
?n(x?1)n?1?n的和函数。
三. 函数展开成幂级数
1展开成x?1的幂级数的展开式为 。 x112.34 将f(x)?展开成x的幂级数的展开式为 。
x?2112.38 函数f(x)?展开成x的幂级数的形式为
2?x12.32 将f(x)?12.39 函数f(x)?e展开成x的幂级数的形式为 12.56 将函数f(x)?a展成x的幂级数，并给出其收敛域.
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