【2014考纲解读】
1．了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数,并能简单应用． 【重点知识梳理】
1.符号f:A?B表示集合A到集合B的一个映射,它有以下特点： (1)对应法则有方向性, f:A?B与f:B?A不同;
(2)集合A中任何一个元素,在f下在集合B中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C与B间关系是C?B.
2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集. 函数三要素是指定义域、值域、对应法则. 同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同. 3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数. 4.函数解析式求法:
(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；
（2）已知复合函数f[(g(x)]的表达式,求f(x)可用换元法； （3）配凑法与方程组法. 【高频考点突破】
考点一 函数的概念与函数值的求解
例1、(1)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是函数；③x2
函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．
x
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)下列对应法则f为A上的函数的个数是( )
①A＝Z,B＝N＋,f：x→y＝x2；②A＝Z,B＝Z,f：x→y＝x；③A＝[－1,1],B＝{0},f：x→y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 (1)A (2)B
【归纳总结】
①判断一个对应是否为映射,关键看是否满足“集合A中元素的任意性,集合B中元素的唯一性”． ②判断一个对应f：A→B是否为函数,一看是否为映射；二看A,B是否为非空数集．若是函数,则A是定义域,而值域是B的子集．
③函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同,只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】 (1)下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) x2－1A．y＝与y＝x＋1
x－11
B．y＝lgx与y＝lgx2
2C．y＝x2－1与y＝x－1 D．y＝x与y＝logaax(a>0且a≠1)
(2)在下列图像,表示y是x的函数图象的是________．
图2－4－1
【答案】 (1)D (2)①②
【解析】(1)选项A,B中,定义域不同,选项C中,对应法则不同,只有选项D中的两个函数的三要素相同．故选D.
(2)由函数定义可知,自变量x对应唯一的y值,所以③④错误,①②正确． 考点二 函数的定义域、值域的求法
1
例2、(1)函数f(x)＝＋4－x2的定义域为( )
ln（x＋1）A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2]
3x－1
(2)已知函数f(x)＝2的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
ax＋ax－31
A．a＞ B．－12＜a＜0
31
C．－12＜a≤0 D．a≤
3
3
【归纳总结】求函数定义域一般要考查如下几个方面：分式的分母不等于零、偶次被开方式不小于零、对数的真数大于零、正切函数的定义域等．如果函数是一些函数通过四则运算复合而成的,那么它的定义域是各函数定义域的交集；由实际问题列出的函数式的定义域问题,由自变量的实际意义给出,复合函数的定义域求法综合考虑内外两层函数的定义域．
【变式探究】 (1)已知f(x)＝
1
,则函数f(f(x))的定义域是( ) x＋1
A．{x|x≠－1} B．{x|x≠－2} C．{x|x≠－1且x≠－2} D．{x|x≠－1或x≠－2} (2)下列函数中,与函数y＝
13x
定义域相同的函数为( )
1lnx
A．y＝ B．y＝ sinxx
sinx
C．y＝xex D．y＝
x
考点三 简单的分段函数及其应用
??cosπx（x≤0），4??－4?的值为( ) 例3、(1)已知f(x)＝?则f ?＋f ?3??3??f（x－1）＋1（x>0），?
11
A. B．－ C．－1 D．1 22
x??2，x∈（－∞，1]，1(2)设函数f(x)＝?则满足f(x)＝的x值为( )
4?log81x，x∈（1，＋∞），?
－
11
A．4 B．3 C. D.
43
【特别提醒】
①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同,而分别用不同的式子来表示,因此在求函数值时,一定要注意自变量的值所在子集,再代入相应的解析式求值．
②分段函数是一个函数而不是几个函数,“分段求解”是解决分段函数的基本原则． ③不理解分段函数的概念是出错的根本原因．
1，x＞0，????1，x为有理数，
【变式探究】设f(x)＝?0，x＝0，g(x)＝?则f(g(π))的值为( )
?0，x为无理数，???－1，x＜0，A．1 B．0 C．－1 D．π
考点四 求函数的解析式
2?
－1＝2x,则f(x)＝________． 例4、 (1)已知f??x?
(2)设y＝f(x)是二次函数,方程f(x)＝0有两个相等的实根,且f′(x)＝2x＋2,则f(x)的解析式为________．
【特别提醒】求函数解析式的常见题型：
①已知函数类型,用待定系数法求解析式．
②已知函数图象,用待定系数法求解析式,如果图象是分段的,要用分段函数表示． ③已知f(x)求f[g(x)],或已知f[g(x)]求f(x),用换元法、配凑法．
1?④若f(x)与f??x?或f(－x)满足某个等式,可构造另一个等式,通过解方程组求解． ⑤应用题求解析式可用待定系数法求解．
求函数解析式一定要注意函数的定义域,否则极易出错． 【变式探究】(1)下列函数中,不满足．．．f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x－2,则f(x)的解析式是( ) 2A．f(x)＝3x－
3
专题2.1 函数及其表示(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
