交换性和多项式表示、矩阵的同时对角化专题
引理 1 与对角元互不相同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵。
引理 2（1）任意线性变换?在它特征子空间上的限制为数乘变换。?V(?)???
?（2）任意线性变换?在它核子空间上的限制为零变换。?ker?(?)?0
V?证明：（1） 只需证明线性变换?在它特征子空间上的限制?在V?的任一个基下的矩阵
为?Er，其中r?dim(V?)，因为r?dim(V?)，故设V?的一组基为?1,?2, (?V??r，由于
)?i???i,i?1,2r
?(?1,?2,?r)?(?1,?2,????r)???????? ????r故?V?在V?的任一个基下的矩阵为?Er，即证结论成立。（2）在（1）中，令??0即证。
例1 设n维线性空间V的线性变换?有n个互异的特征值，线性变换?与?可交换的充分必要条件是?可以表示为E,?,?,12,?n?1的线性组合，其中E为恒等变换。
其矩阵等价描述为：设n阶方阵A有n个互异的特征值，AB?BA的充分必要条件是存在可逆矩阵T使得TAT,TBT均为对角形，且B?f(A)，其中f(x)为n?1次多项式，且表示式唯一。
[注]：若A仅仅假定可以对角化，满足AB?BA，则一定存在可逆矩阵T使得TAT,TBT均为若当形矩阵。?
?1?1证明：充分性。设TAT??1,TBT??2，其中?1,?2为对角阵，显然?1?2??2?1，?1?1?1?1?1?1从而???AB?T?1TT?2T?T?1?2T?T?2?1T?T?2TT?1T?BA?
?1?1?1?1以下分三步来完成必要性的证明。
（1）由题意知，A有n个互异特征值，故??1,?2,征值，且?i??j,i?j,i,j?1,2,?ns.tA?i???ii，其中?i为A的特
,n， A可以对角化，令
T?(?1,?2,??1?,?n)s.tT?1AT???2????? ?n??（2）
AB?BA，则可得(T?1AT)(T?1BT)?(T?1BT)(T?1AT)，令
C?T?1AT,D?T?1BT，C为对角矩阵，且主对角线上的元素互异，而CD?DC，由引
?b1?b2理1知D??????b1???1TBT?b2，即???bn???B?i?bi?i,i?1,2,,n
???，从而可得 bn??（3） 欲证B可由E,A,A,12,An?1线性表出，只须证方程
?xnAn?1有非零解即可，（B?0显然）
B?x1E?x2A1?x3A2?设B?0，将B作用于?i，i?1,2,,n，则可得
?xnAn?1?i,i?1,2,,n. 从而可得
B?i?bi?i?x1E?i?x2A1?i?x3A2?i?kkA?i???ii. 可知A?i??i?i,k?1,2,,n
x1?i?x2??ii?xn?in?1?i?bi?i,i?1,2,,n 即
,n ,n
(x1?x2?i?xn?in?1?bi)?i?0,i?1,2,xn?in?1?bi?0,i?1,2,?i?0?x1?x2?i??x1??1x2???x??2x2?即为?1??x??x??1n2?1?x1??b1??????xb1?2n?1xn?b222，令X???,b???,A????????????n?1?1?nxn?bn?xn??bn???1n?1xn?b1?1?2?n??n?1??n??1n?1???2n?1?
12?X?A?1b?0，而|A|?0,b?0，即B可由E,A,A,AX?b有解，,An?1线性表出！
上述结论的推广形式 命题1 设A,B?Fn?n在F上可对角化，AB?BA，则存在可逆矩阵P?Fn?n使得
P?1AP,P?1BP均为对角形，且AB可对角化。
证明：令 Q?F?1n?n，使得?QAQ?diag(?1En1,?2En2,?1?kEn)D，其中?1,?2,?k互
k异，令C?QBQ，由AB?BA可知CD?DC，从而C?diag(C1,C2,Ck)，其中Ci?1是ni阶方阵，因为C可对角化，所以Ci也可对角化，存在Mi 使MiCiMi为对角形，记
M?diag(M1,M2,Mk)，然后令P?QM.??
命题?? 设?是n维线性空间V的线性变换，又?的最小多项式的次数等于n，若?是n维线性空间V的另一线性变换，且?????，证明：??f(?)，其中f(x)为不超过n?1次的多项式。反之，若?的最小多项式的次数小于n，则存在V上的线性变换?，满足
?????，但是?不能表示为?的多项式。 证明：设?的最小多项式的次数等于n，这是?的最小多项式等于特征多项式，故存在V的
?0??1一个基?1,?2,?,?n使得?在该基下的矩阵为友矩阵C，即有C??0????0?于是 ?(?1)?001?0?0?an???0?an?1??0?an?2?
?????1?a1???2,?(?2)??3,,?(?n?1)??n，
?a1?n
?(?n)??an?1?an?1?2? 设 ?(?1)?b1?1?b2?2??bn?n，由 ?????可知
?bn?n)
?(?2)???(?1)???(?1)??(b1?1?b2?2? ?b1?(?1)?b2?(?2)??bn?(?n) ?bn?n?1(?2)
?bn?n?1(?i),i?1,2n
?b1?2?b2?(?2)?同理可证： ?(?i)?b1?i?b2?(?i)?12因此 ??b1E?b2??b3???bn?n?1
再假定?的最小多项式的次数小于n，则存在V的一组基，使?的表示矩阵为有理标准形F?diag{F1,F2,Fk}，其中Fi是一个友矩阵，不失一般性，我们假定k?2，这时
?的不变因子为d1(?),d2(?)，且d1(?)d2(?)，做分块对角矩阵B???EO??
?OO?O?? f(F2)??f(F1)显然FB?BF，如果存在多项式f(x)使得B?f(F)，则B???O即有 f(F1)?E,f(F2)?O，因为d2(?)既是F2的特征多项式，又是最小多项式，所以
d2(?)f(?)，从而d1(?)f(?)，于是f(F1)?O，这就推出了矛盾，因此B不能表示为
F的多项式，由B定义的线性变换?符合题意。
例1 设J是n阶Jordan 块且主对角元素为?0，证明：和J乘法可交换的n阶矩阵必可表示为J的次数不超过n?1次的多项式。
证明： 设A和J可交换，令J??0En?J0，J0为主对角元素全为0的Jordan型矩阵，显然A和J可交换等价于A和J0可交换，经计算可知A必具有下列形状（上三角矩阵）
?a1a2?a1 A?????于是 A?a1En?a2J0?an??an?1? ??a1??an(J??0En)n?1
?anJ0n?1?a1En?a2(J??0En)?可表示为J的次数不超过n?1次的多项式。
[注]：若A??E?P，且P是幂零指数为m?1的幂零矩阵，即 P?0,P则 A?(?E?P)?nnmm?1?0
?Ck?0nkn(?E)n?kkn?kkP??Cn?P kk?0nnn?1 ??E?n?P?mn?mm?Cn?P
?A1?例2 设有n阶分块对角矩阵A??????B1??,B?????Ak?????，其中Ai和Bi是同阶 Bk??k两两互素
方阵，假设矩阵Ai适合非零多项式gi(x)，即gi(Ai)?O. 且gi(x),i?1,2证明：若对每个i，存在多项式fi(x)使得Bi?fi(Ai)，则必存在次数不超过n?1次的多项 式f(x)使得B?f(A). 证明： 因为gi(x),i?1,2k两两互素，故由中国剩余定理可知，存在多项式
ix)h(x)满足 h(x)?gi(x)iq(? h(A)?diag{h1(A),f( x)x?Ai代入可得 h(Ai)?Bi. 从而 将hk(A)}?diag{B1,Bk}?B
xf(设 A的特征多项式为 g(x)，作带余除法 h(x)?g(x)q(?x)其中 degf(x)?n，将 x?A代入上式，则由哈密尔顿-凯莱定理可知
B?h(A)?f(A)
例3（2024上海交通大学） 设n阶矩阵A的秩等于n?1，B是同阶非零矩阵且
AB?BA?O，证明：存在次数不超过n?1次的多项式f(x)使得 B?f(A)
证明： 因为AB?BA,当且仅当 (PAP)(PBP)?(PBP)(PAP)
即题设条件和结论在A,B在相似变换下保持不变，故不妨假设A已是Jordan标准型矩阵，因为 R(A)?n?1，所以A关于特征值0的几何重数为1，从而关于特征值0的Jordan块
?1?1?1?1?J0只有一块，记为J0；其他非零特征值的Jordan块合在一起，记为J1，于是A???设B????，J1??B11?B21B12??为相应分块，则由 AB?BA?O可知B12?B21?B22?O，于是 B22??B?由于J0是幂零矩阵而J1是可逆矩阵，故J0和J1B??11?,B11?O且 J0B11?B11J0，
O??的特征值互素，它们分别取作g0(x),g1(x)；由例1可知存在多项式 f0(x)使得B11?f0(J0)；再取f1(x)?0，则O?f1(J1)，最后由例2即证。
?a10??110?????练习题?：2013北京化工大学 设 A??0a0?,B??010?，证明：AB?BA但不
?00a??002?????存在一元多项式f(x)，使得B?f(A). A的最小多项式为(x?a)，次数小于3. 练习题?：2024上海交通大学 设A,B是n阶方阵，且R(A)?n?1,AB?O，证明：
2B可以表示为A的多项式。
练习题?：2024南京航空航天大学 设A,B是两个n阶幂等实方阵，即A?A,B?B且
22AB?BA，证明：
（1）若A?A,且 V?{x?RnAx?x}，则V的正交补为V??{y?RnAy?0}
T?Er（2）存在可逆矩阵P1使得 PAP1???O?11O??,r?R(A). O??1（3）存在可逆矩阵P?Rn?n使得PAP,PBP均为对角形。
?1命题 设V是n维欧式空间，?是V上的线性变换，且满足??,??V，有
交换性和多项式表示和矩阵同时对角化专题
