高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编之欧阳语创编

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第八章多元函数的微分法及其应用

时间：2024.03.01 创作：欧阳语 § 1 多元函数概念 一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2]. 二、求下列函数的定义域：

x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)?221?x?yy2、z?arcsin{(x,y)|y?x,x?0};

x三、求下列极限：

x2siny 1、(x,ylim)?(0,0)x2?y2（0）

yx 2、(x,ylim(1?)3x (e6)

)?(?,2)x2y四、证明极限(x,ylim)?(0,0)x4?y2不存在.

证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x2趋于（0，0）时，极限为, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数连续。

证明：当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)?(0,0)时，

(x,y)?(0,0)121?xysin,(x,y)?(0,0)?22f(x,y)??在整个x?y?0,(x,y)?(0,0)?xoy面上

limxysin1x?y22?0?f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数

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在整个xoy面上连续。 六、设z?x?y2?f(x?y)且当

y=0时z?x2，求f(x)及z的表达式.

解：f(x)=x2?x，z?x2?2y2?2xy?y § 2 偏导数

1、设z=xy?xe ,验证xyyyx?z?z?y?xy?z ?x?yyy?zy?z?z?z证明：?y?ex?ex,?x?ex，?x?y?xy?xy?xex?xy?z

?xx?y?x?y?z?x2?y231,,1）处切线与y轴正向2、求空间曲线?:?在点（1?22y???2?夹角()

43、设f(x,y)?xy?(y?1)2arcsin4、设u?x, 求

zzyx, 求fx(x,1) ( 1) y?u?x，

?u?y，

?u ?zz?uz?u1?uzy?1解：?x，??2xylnx?xylnx

?y?zy?xyyz5、设u?x?y?z，证明 :

222?2u?2u?2u2?2?2? 2u?x?y?z6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

x?0y?0limf(x,y)?0?f(0,0)连续； fx(0,0)?limsinx?01x2 不存在，

fy(0,0)?lim0?0?0

y?0y?07、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求

limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)

x （2fx(a,b)） § 3 全微分

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1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的

__________

(A) 必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件

（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在

（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

1）z?eyxyxdz?e(?y1dx?dy) 2xxyyy 2）z?sin(xy2)解：dz?cos(xy2)(y2dx?2xydy)

yz?11y 3）u?x解：du?xdx?xzlnxdy?2xzlnxdz

zzzyz3、设z?ycos(x?2y)，求dz(0,)4?

解：dz??ysin(x?2y)dx?(cos(x?2y)?2ysin(x?2y))dy

?dz|(0,)=dx?dy

442???4、设f(x,y,z)?1z(?2dx?4dy?5dz) df(1,2,1)求：2225x?y欧阳语创编