??yR1??c．当??13时，代入b中结果，得到??4.28?2.07，即里查兰的人均收入与珀尔
yP兰相比是其2.07倍。
??yR1??d．当里查兰的人均收入是珀尔兰的16倍时，即??4.28?16，可得??0.656，即
yP由于?由通常的1/3增加到0.656，最终使得里查兰的人均收入是珀尔兰的16倍。
?表示人均资本对人均收入的贡献程度。对?数值的调整，涉及对人均资本存量的调整，由于里查兰的储蓄高于珀尔兰很多，而且里查兰的人口增长低于珀尔兰很多，最终导致里查兰的人均资本存量非常高，?的数值因而就提高了。当然，两国要素禀赋、制度环境等的差异也是导致两国收入差距悬殊的重要原因。
5．各国之间普通人所得到的教育量差别很大。假定你要比较一个劳动力受教育较多的国家和一个劳动力受教育较少的国家。假设教育只影响劳动效率的水平。再假设这两个国家在其他方面是相同的：它们有相同的储蓄率、相同的折旧率、相同的人口增长率和相同的技术进步率。这两个国家都可以用索洛模型来描述，并且都处于其稳定状态。你预期以下变量会是多少？
a．总收入增长率。 b．人均收入水平。
c．资本的实际租赁价格。 d．实际工资。
答：教育会影响索洛模型中的劳动效率（E），假设两个国家，国家1的劳动力拥有较高的受教育程度（E1），国家2的劳动力拥有较低的受教育程度（E2）。
a．在索洛模型中，收入增长率为n?g，与劳动力受教育程度无关。因为这两个国家有着同样的人口增长速度和同样的技术进步率，所以这两个国家的总收入增长率相同，都是（n?g）。
图8-3 索洛模型的稳定状态
b．因为这两个国家具有相同的储蓄率、人口增长率、技术进步率，而且，开始两个国家都处于稳定状态，因此，在这两个国家中，单位效率工人产出水平y*?f?k*?在稳定状态下是一样的。
但是，人均产出为YL?y*E，y*在两个国家是一样的，而E1?E2，因此，y*E1?y*E2，教育程度E高的国家，人均收入水平将更高。
c．已知资本的实际租赁价格R等于资本的边际产出MPK，而MPK取决于单位效率工
人的资本存量。在稳定状态下，因为两国有着同样的储蓄率、人口增长率和技术进步率，所
*以k1*?k2?k*。从a和b得知，在这样的条件下，两国的MPK是相等的，因此R1?R2，两
国的资本实际租赁价格相等。
d．总产出由资本和劳动分割。因此，效率工人的工资可以表示为：??f?k??MPK?k。 由于两个国家有着同样的稳定状态资本存量k和资本边际生产率MPK。因此，两国的效率工人的工资相等。
但是，工人关心的是每单位劳动力的工资，而不是单位效率工人的工资。单位劳动力的工资L??E，所以受教育程度高的国家工人的实际工资更高。
6．这个问题让你更详细地分析正文中介绍的两部门内生增长模型。
a．用有效工人的人均产出和有效工人的人均资本重新写出制造业产品的生产函数。 b．在这个经济中，收支相抵的投资（保持有效工人人均资本量不变所需要的投资量）是多少？
c．写出k变动的公式，该公式表示?k是储蓄减收支相抵的投资。用这个式子画出一个表示稳定状态k的决定的图形。（提示：这个图看起来很像我们在分析索洛模型时所用过的图。）
d．在这个经济中，稳定状态的人均产出YL的增长率是多少？储蓄率s和在大学中的劳动力比例u如何影响这一稳定状态增长率？
e．用你的图说明u提高的影响。（提示：这种变动对两条曲线都产生影响。）描述即时的和稳定状态的影响。
f．根据你的分析，u的提高对经济肯定是一件好事吗？并解释。 答：a．两部门内生增长模型的生产函数为：
Y?F??K，?1?u?EL??
?假设该函数为规模报酬不变，即函数对任意正数z满足zY?F??zK，z?1?u?EL?。令
z?1EL，则可以得到：
Y?K??F?，?1?u?? EL?EL?因此：
y?F??k，?1?u???
b．收支相抵的投资现在包括三个方面：折旧的补偿??k?，为新增工人配置资本?nk?，为劳动效率的提高配置资本??g?u?k??，其中g?u?是劳动效率型技术进步率。所以，现在收支相抵的投资为????n?g?u???k。
c．k的变动等于储蓄减去收支相抵的投资：
?k?sF??k，?1?u????????n?g?u???k
在稳定状态下有?k?0，则：
sF??k，?1?u????????n?g?u???k
如图8-4所示，对于任意一个给定的u，可以根据索洛模型得到一个交点，这就是稳定
状态。
图8-4 两部门内生增长模型
d．由c可知，达到稳定状态时，单位效率工人的资本存量为一常数k，而且此时u也必定为一常数（否则就不能达到稳定），即用于研发的时间为一确定值。因此，此时单位效率工人的产出为一常数y，实际的人均产出为yE，而E的增长率为g?u?。所以，稳定状态下人均产出的增长率与储蓄率无关，但与u正相关。u越大，用于研发的时间越多，稳定状态的技术进步率越高，因而稳定状态的人均产出增长率越高。
e．u增加会使两条线都移动，如图8-5所示。工人们将更少的时间用于生产制造商品，则在任何给定的单位效率工人资本水平下，效率工人的人均产出都会下降，而资本存量K与工人的效率E都不变。既然效率工人人均产出下降，那么每个效率工人的储蓄曲线就随之下移了。
图8-5 u上升的影响
同时，用于研究开发的时间增加会导致劳动生产率g?u?增长，因此在任何给定的k水平，收支平衡的投资增加了，所以表示收支平衡的曲线上移。
在新的稳定状态下，单位效率工人的资本存量下降了，单位效率工人的产出也下降了，但是人均产出的增长率提高了。
f．在短期内，u增加会减少消费。e部分表明，u增加的直接后果就是短期内减少产出，因为工人们用在生产上的时间更少了，而把更多的时间花在了研究开发上。在一个给定的储
蓄率水平，产出下降就意味着消费减少。在长期内，稳定状态的影响则更微妙。在e部分指出稳定状态下效率工人的平均产出下降，但福利取决于工人的人均产出与消费，而不是效率工人。用于研究的时间增加意味着E更快的增长。工人的平均产出等于yE，虽然稳定状态下的y下降了，但长期内E的增长必然会很显著，所以长期内消费也会增加。
然而，因为开始时消费会下降，所以u的增加并非是好事，更关注当前一代人福利水平的政策制定者可能不会执行增加u的政策。
四、附录的问题与应用
1．在索洛维亚这个经济中，资本所有者得到了2/3的国民收入，而工人得到了1/3的国民收入。
a．索洛维亚的男人留在家里从事家务劳动，而妇女在工厂干活。如果一些男人开始走出家门去工作，以致劳动力增加了5%，这个经济可衡量的产出会发生什么变动？劳动生产率——定义为每个工人的产出——是提高了，下降了，还是保持不变？全要素增长率提高了，下降了，还是保持不变？
b．在第1年，资本存量为6，劳动投入为3，产出为12。在第2年，资本存量为7，劳动投入为4，产出为14。在这两年之间，全要素生产率发生了什么变动？
解：a．由公式?Y/Y???K/K??1????L/L??A/A可知：总产出的增长取决于劳动L、资本K以及全要素生产率A的增长。?是产出中资本所得的比重。
当劳动力以5%的速度增长，而?K/K??A/A?0时，产出的增长率为：
1?Y/Y??1????L/L??5%?1.67%
3所以劳动力增长5%可使产出增加1.67%。
劳动生产率是Y/L，它的变动率可以表式为：
??Y/L??Y?L ??Y/LYL将数值代入上式，可得：
??Y/L?Y/L?1.67%?5%??3.33%
所以劳动生产率下降了3.33%。 全要素生产率可表达为：
?A/A??Y/Y???K/K??1????L/L
将数值代入上式，可得：
1?A/A?1.67%?0??5%?0
3全要素生产率是指扣除可以计量的那些因素之后的产量的增长。在本题中，因为没有技术进步，所有的产出增长都归因于投入的增长，所以全要素生产率为零。
b．从第一年到第二年，资本存量增长率为1/6，劳动投入增长率为1/3，总产出增加率为1/6。所以全要素生产率的增长率为：
?A/A?12111??????0.056 63633即全要素生产率约下降了5.6%。
2．把劳动生产率定义为Y/L，即产出量除以劳动投入量。从增长核算方程式开始，说明劳动生产率的提高取决于全要素生产率的提高和资本—劳动比率的提高。特别说明：
??Y/L??A??K/L? ???Y/LAK/L（提示：你会发现下面的数学技巧是有帮助的。如果z??x，那么，z的增长率接近于?的增长率加x的增长率，这就是说：?zz??????xx。）
答：根据定义，产出Y等于劳动生产率Y/L与劳动力L的乘积：Y??Y/L?L。根据提示中的数学技巧，可以得到：
?Y??Y/L??L ??YY/LL移项得：
??Y/L?Y/L??Y?L ?YL将?Y/Y???K/K??1????L/L??A/A代入，得：
??Y/L??A?K?L?L????1????Y/LAKLL?A??K??L ???AKL?A??K?L???????AL??K?再利用?K/K??L/L???KL??KL?，得：
??Y/L?Y/L???KL??A??K?L??A??????? ?AL?AKL?K即劳动生产率的提高取决于全要素生产率的提高和资本-劳动比率的提高。
3．假设索洛模型所描述的一个经济处于人口增长n为每年1.8%，技术进步g为每年1.8%的稳定状态。总产出和总资本以每年3.6%的速度增长。再假设产出中资本的份额为1/3。如果你用增长核算方程式把产出的增长分为三个源泉——资本、劳动以及全要素生产率——那么，以上每一个源泉的产出的增长是多少？比较你的结果和（教材中）表8-1中所发现的美国的数字。
表8-1 美国经济增长的核算
资料来源：U.S. Department of Commerce，U.S. Department of Labor，以及作者的计算。参数?设
曼昆《宏观经济学》(第6、7版)笔记(第8章 经济增长Ⅱ：技术、经验和政策)资料
