5.3.1 正弦函数的图象和性质
【教学目标】
1. 理解并掌握正弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出正弦函数的简图； 2. 通过教学，使学生进一步掌握数形结合研究函数的方法． 【教学重点】
正弦函数的图象和性质． 【教学难点】
用正弦线画正弦曲线，正弦函数的周期性． 【教学方法】
本节课主要采用观察分析与讲练结合的教学方法．教师借助较先进的教学手段，启发引导学生利用单位圆中的正弦线，较精确地画出正弦曲线，然后通过观察图象，得到简单的五点作图法；通过练习，使学生熟练五点作图法．通过设置问题引导学生观察、分析正弦线的变化情况，从诱导公式与函数图象两方面来总结归纳正弦函数的性质；通过例题，进一步渗透数形结合研究函数的方法． 【教学过程】 环节 复 习 复习单位圆与正弦线． 教学内容 师生互动 教师要求学生在直角坐标系中作出单位圆，并分组分别作出复习正弦线，顺利引出下面的几何法作图． πππ ， ， 的正弦线，小组交流． 632 师：将圆等分的份数越多，图象越精确． 用正弦线画图的方法比较复杂，所以将它分为五个小步骤，使学生明确画图的方法． 设计意图 新 课 这节课，将利用正弦线来做出正弦函数 y＝sin x，x?R 的图象． 1. 正弦函数的图象． 第一步：平分单位圆．在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O，以 O 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A 起把圆分成12等份． 第二步：作出各角的正弦线．过圆上的各分点作 x 轴的垂线，可以得πππ到对应于角0， ， ， ，…，2π632的正弦线． 第三步：平分坐标轴．我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，标
新 课 πππ上横坐标0， ， ， ，…，2π． 632第四步：平移正弦线．把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点． 第五步：连线．用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正因为sin(?＋k ? 2 π)＝sin? (k?Z)，所以正弦函数 y＝sin x在 x?(－2π，0)，(2π，4π)，(4π，6π)，…时的图象与 x? (0，2 π)的形状完全一样，只是位置不同． 师：观察 y＝sin x，x? [0，2π]的图象，最高点是哪个？最低点是 在教师的引导下，让学生自己观察出图象的最高点，最低点，与 x 轴交点，便于记忆五个点坐标，同时为下节课利用图象研究性质打基础． 巩固“五点法”作图，并在教师引导下发现函数y＝1＋sin x 与y＝sin x图象间的关系，为例2求函数的最大值、最小值作准备． 培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃． 弦函数 y＝sin x，x?[0，2 π]的图象． 哪个？图象与 x 轴有几个交点？第六步：平移．我们把y＝sin x， 分别是什么？ x? [0，2 π]的图象沿x轴平移 ±2 π，±4 π，…就可以得到y＝sin x，x?R的图象． π从图象可以看出，(0，0)，( ，23 π1)，(π，0)，( ，－1)，(2 π，0)这2五个点在确定图象形状时起着关键的作用． 例1 作函数 y＝1＋sin x，x?[0，2 π] 上的简图． 解 略． 练习：教材P154，练习A组第4、5题；练习B组第3题． 2. 正弦函数的性质． 由单位圆中的正弦线得正弦函数的性质： （1）值域：［－1，1］ π当 y＝ ＋2 kπ，k ? Z 时，y＝2sin x 取得最大值1；即 y max ＝1；当 πy＝－ ＋2 kπ，k ? Z 时，y＝sin x2取得最小值－1，即ymin＝－1； （2）周期性 定义：对于函数 f (x)，如果存在师问：在 x? [0，2 π]这一区间上，哪几个点对图象的形状起着关键作用？有几个？ 师：在精确度要求不高的情况下，“五点法”是最常用的画正弦函数图象的方法． 师生对例1小结：函数 y＝1＋sin x，x? [0，2 π] 的图象是由 y＝sin x，x? [0，2 π]的图象向上平移一个单位得到的． 师：复习 y＝sin x，x?R图象． （1）观察图象可知，各角的正弦线的长度都小于或等于单位圆半径长度1，这表明：正弦函数的范围是［－1，1］． 师：你能通过观察正弦函数图象得到这个性质吗？ 生：因为正弦曲线分布在两条平行直线y＝1和y＝－1之间．所以正弦函数的值域是［－1，1］． （2）由公式 sin(x＋k ? 2 π)＝sin x (k?Z)可知：当自变量 x 的值每增加或减
新 课 一个非零常数 Ｔ，使得定义域内的每少2 π 的整数倍时，正弦函数的值一个 x 的值，都满足 f (x＋T)＝f (x)，重复出现． 那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数Ｔ叫做这个函数的周期． 由正弦曲线图象可知，当自变量x的值每增加或减少2 π 的整数 教师引导学生对于一个周期函数 f (x)，如果在倍时，正弦函数的图象重复出现． 它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期． 结论：正弦函数是一个周期函数， 2 k π (k ? Z，且k≠0)都是它的周期，（3）师：如何判断函数的奇偶性？ 从诱导公式（数）和2 π 是其最小正周期． （3）奇偶性 生： 偶函数 ? f (－x)＝f (x)， 正弦曲线（形）两个角度探究正弦函数的值域、周期性和奇偶性等性质． 利用两个例题，由公式sin（－x）＝－sin x得知，偶函数图象关于y轴对称． 正弦函数是奇函数，图象关于坐标原点对称． （4）单调性 正弦函数在闭区间 奇函数 ? f (－x)＝－f (x)， 奇函数图象关于坐标原点对称． （4）随着单位圆中正弦线的变化，体会正弦函数的单调性．学生总结正弦函数的单调性． 师：在正弦函数图象上，函数ππ单调性是如何体现出来的？ ［－ ＋2 k π， ＋2 k π］(k?Z)上是22π生：正弦函数在［－ ＋2kπ，2增函数；在闭区间 π3π［ ＋2 k π， ＋2 k π］(k?Z)上是22减函数． 例2 求使函数 y＝2＋sin x 取最大值和最小值的 x 的集合，并求这个函数的最大值、最小值和周期． 练习：教材 P 154，练习A组第1、2题． 例3 不求值，比较下列各对正弦值π ＋2kπ］(k?Z)上，图象是上升的，2π3π在［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k?Z)上，22图象是下降的． 教师将例2结合函数图象讲解，在练习后小结:函数 y＝2＋sin 使学生更好地理解函x， y＝2－sin x的图象与 y＝sin x数性质的应用，进一的关系，求它们最大值、最小值的规律． 教师将例3结合正弦函数图象讲解如何比较函数值的大小，然步渗透数形结合的思想．
的大小： ππ（1）sin(－ )与 sin(－ )； 1810（2）sin 小 结 1．“五点法”作图； 2．正弦函数的图象和性质． 2π3π 与 sin ． 34后再引导学生一起写出解题步骤． 教师小结典型例题及解题规律． 利用典型题目，再次强调数形结合解题的思想． 本节内容颇多，作 业
教材P154，练习A组第3、4、5题，练习B组． 教师可根据学生情况分节与布置作业．
正弦函数的图象和性质-中职数学基础模块教案设计
