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2017 年上半年国家教师资格考试真题试卷《数学学科知识与教学能力》（初级中学）
一、单项选择题（本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.若 lim a =a〉0，则下列表述正确的是（）
n??
A. ? r? （0，a）， ? N〉0，当 n〉N 时，有 a 〉r
n
n
B. ? r? （0，a）， ? N〉0，当 n〉N 时，有 a 〉r
n
C. ? r? （0，a）， ? N〉0，当 n〉N 时，有 a 〉r
n
D. ? N〉0， ? r? （0，a），当 n〉N 时，有 a 〉r
n
2.下列矩阵所对应的线性变换为关于 y=-x 的对称变换的是（）
?01?? A. ??1 ? ? 0
? 0 1 ? B ? ? ? ? 1 0 ? ? 0 ? 1? C ? ? ? ? 1 0 ? ? 0 ? 1? D ? ? ?1 0 ?
x ?x-2y?2z?02y-z11???
3.空间直线 l ： ? 与 l ? 它们的位置关系是（）
2 2x ? z ? 14 1 ?3x ? 2y ? 6 ?
A. 与
l ll ll ll l
1
B. 与C. 与D. 与
垂直
1 2
相交，但不一定垂直
1 2
1 2
2
b
为异面直线 平行
（x）dx ? 0 ，则下列表述正确的是（） 4.设 f（x）在[a，b]上连续且 ? f
A.对任意 x? [a，b]，都有 f（x）=0
a
B.至少存在一个 x? [a，b]，使 f（x）=0
C.对任意 x? [a，b]，都有 f（x）=0
D.不一定存在 x? [a，b]，使 f（x）=0
5.设 A、B 为任意两个事件，且 A ? B，P（B）〉0，则下列选项中正确的是（）
A.P（B） ? P（A\\B） B.P（A） ? P（A\\B）
C.P（B） ? P（A\\B） D.P（A） ? P（A\\B）
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?12?
?? 下列向量中为矩阵 A 的特征向量的是（） 6.设 A= ??03 ? ?
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A.（0,1） T
B.（1,2） T
C.（-1,1） T
D.（1,0） T
7.与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（Ⅰ-Ⅵ卷）的我国数学家是（）
A.徐光启
B.刘徽
C.祖冲之
D.杨辉
8.在角、等边三角形、矩形和双曲线四个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9.已知抛物面方程 2x 2 +y 2 =z
（1）求抛物面上点 M（1,1,3）处的切平面方程；（4 分）
（2）当 k 为何值时，所求切平面与平面 3x+ky-4z=0 相互垂直。（3 分）
10.已知向量组 a =（2,1，-2,） T ，a （1,1,0） T ，a =（t，2,2） T 线性相关。
1
2
3
（1）求 t 的值；（4 分）
??，，（2）求出向量组 a a a 的一个极大线性无关组。（3 分）
1
2
3
11.有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的 6 个杯子中，每种
品牌各 3 杯，作为实验样品。
（1）从 6 杯样品饮料中随即选取 3 杯作为一次实验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。独立进行 5 次实
验，求 3 次成功的概率；（5 分）
（2）某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌，现请他品尝实验样品中的 6 杯饮料进行品牌区分，作为一
次实验，若区分完全正确，视为实验成功。他经过 5 次实验，有 3 次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力？
说明理由。（2 分）
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12.《义务教育数学课程标准（2011 年版）》用行为动词“了解” 理解”“掌握”“应用”等描述结果目标，请解 释了“了解等腰三角形的概念”的具体含义。
13.书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“有理数”一章为例，说明设计数学书面测验试卷应
关注的主要问题。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
x
?（t）dt ，x? [a,b]，证明： 14.已知 f（x）是[a,b]上的连续函数，设 F（x）= f
（1）F（x）在[a,b]上连续；（5 分）
a
（2）F（x）在[a,b]上可导，且 F ，（x）=f（x）。（5 分）
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15.推理一般包括合情推理与演绎推理。
（1）请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；（6 分）
（2）举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题的作用（6 分），并阐述二者间的关系。（3 分）
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）
16.案例：
为了帮助学生理解正方形的概念、性质、发展学生推理能力、几何观察能力等，一节习题课上，甲、乙两位
老师各设计了一道典型例题。
【教师甲】
如图 1，在边长为 a 的正方形 ABSD 中，E 为 AD 边上一点（不同于 A、D），连 CE。在该正方形边上选取点 F，
连接 DF，使 DF=CE。请解答下面的问题：
（1）满足条件的线段 DF 有几条？
（2）根据（1）的结论，分别判断 DF 与 CE 的位置关系，并加以证明。
【教师乙】
如图 2，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AD、AB 边上的点（点 E、F 均不与正方形顶点重合），
且 AE=BF，CE、DF 相交于点 M。证明：
（1）DF=CE
（2）DF ? CE
上半年数学学科知识与教学能力(初级中学)真题、答案
