第1课时 圆的标准方程
学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
知识点一 圆的标准方程
思考1 确定一个圆的基本要素是什么？
思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)＋(y－2)＝4来表示？
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梳理 (1)方程(x－a)＋(y－b)＝r(r>0)叫做以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x＋y＝r. 知识点二 点与圆的位置关系
思考 点A(1,1)，B(4,0)，C(2，2)同圆x＋y＝4的关系如图所示，则OA，OB，OC同圆的半径r＝2是什么关系？
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梳理 点M(x0，y0)与圆C：(x－a)＋(y－b)＝r的位置关系及判断方法
位置关系 点M在圆上 点M在圆外 点M在圆内 利用距离判断 利用方程判断 (x0－a)＋(y0－b)＝r (x0－a)＋(y0－b)>r (x0－a)＋(y0－b) 类型一 求圆的标准方程 命题角度1 直接法求圆的标准方程 例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y2222222222 2 2 CM＝r CM>r CM ＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________. 5 (2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________________. 反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. (2)在确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练1 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，求圆C的标准方程. 命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程. 类型二 点与圆位置关系的判定 例3 已知两点M(3,8)和N(5,2)，圆C以MN为直径. (1)求圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 反思与感悟 (1)判断点与圆的位置关系的方法 ①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可. ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. (2)灵活运用 若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围. 跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x－a)＋(y＋a)＝4的外部，则a的取值范围是__________. 2 2 1.若某圆的标准方程为(x－1)＋(y＋5)＝3，则此圆的圆心和半径长分别为____________. 2.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是________________. 2 2 3.已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)＋y＝26的内部，则a的取值范围是________________. 4.已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为________________. 5.求下列圆的标准方程. (1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)； (2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆. 1.判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上?(x0－a)＋(y0－b)＝r； 点P(x0，y0)在圆C内?(x0－a)＋(y0－b) 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心. (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心. (3)圆心与切点的连线长是半径长. (4)圆心与切点的连线必与切线垂直. 3.求圆的标准方程常用的方法 (1)待定系数法.(2)直接法. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 圆心和半径． 思考2 能． 知识点二 思考 OA<2，OB>2，OC＝2. 题型探究 例1 (1)(x－2)＋y＝9 (2)(x＋5)＋(y＋3)＝25 跟踪训练1 解 设圆心为(a,0)， 则＝ 2 22 2 a－5a－1 2 ＋＋ 0－10－3 2 ， 22 解得a＝2， 故r＝ 2－5 2 ＋0－1 2 ＝10. 2 所以圆C的标准方程为(x－2)＋y＝10. 例2 解 方法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r， 2 2 2 2 a＋b＝r，??2 则有?1－a＋1－b??2a＋3b＋1＝0，a＝4，?? 解得?b＝－3， ??r＝5. 222 2 ＝r， 2 2 ∴圆的标准方程为(x－4)＋(y＋3)＝25. 方法二 (直接法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ??2x＋3y＋1＝0，∴由? ?x＋y－1＝0，? 2 ??x＝4， 得? ?y＝－3，? 即圆心坐标为(4，－3)，
2024版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2
