de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子
流形
胡有婧1, 纪永强2
【摘 要】直接推导de Sitter空间中的类时子流形的Ricci恒等式和第二基本形式长度平方的Laplacian,得到de Sitter空间中的具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子流形成为全脐子流形的一些充分条件。 【期刊名称】黑龙江大学自然科学学报 【年(卷),期】2015(032)001 【总页数】7
【关键词】de Sitter空间;Ricci恒等式;类时;全脐
0 引 言
令(c)表示n+p维指标为n的具有常截面曲率c(c>0)的de Sitter空间,曲率张量场为为的诱导度量,则有 (1)
设Mn是中的n维具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子流形,令ξ为Mn的平均曲率向量,σ和H分别表示Mn的第二基本形式模长平方和ξ的长度,Rijij为子流形Mn上每点的截面曲率,Rmax=supRijij和Rmin=infRijij表示Mn上每点截面曲率Rijij的上、下确界。
对于de Sitter空间中的紧致类空子流形,很多学者进行了研究[1-4]。文献[5-6]将de Sitter空间中子流形分类为类空、类光、类时子流形,对于de Sitter空间中紧致类时子流形,通常转化为研究ant-de Sitter空间中紧致类空子流形。本文参考以上文献和文献[7-12],直接推导了de Sitter 空间中类时子流形的Ricci
恒等式和第二基本形式长度平方的Laplacian,引进了Mn上每点截面曲率的上、下确界,获得了de Sitter空间中的具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子流形成为全脐子流形的一些充分条件。
1 主要结果
对于de Sitter空间中的具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子流形,通过一系列计算和证明,得到其成为全脐子流形的一些充分条件如下。
定理1 设Mn是de Sitter空间中的n维具有平行平均曲率向量紧致伪脐类时子流形, 当Rmin>0时,若 τ≥n(p-1)(c+H2-Rmin), 则Mn是的全脐子流形。
定理2 设Mn是de Sitter空间中的n维具有平行平均曲率向量紧致伪脐类时子流形,如果下面三个条件之一成立 1.当时,若
2.当时,若τ 则Mn是的全脐子流形。 定理3 设Mn是de Sitter空间中的n维具有平行平均曲率向量紧致伪脐类时子流形,如果下面三个条件之一成立 1.当时,若 2.当时,若τ≤n(c+H2-2Rmax); 3.当时,若 则Mn是的全脐子流形。 当n≥2,p≥2时,有从而易得定理3包含定理2;但当n=1时,随着p的变化,定理2的部分结论要更好一些,例如当n=1,p=4时,定理2的结论要比定理3的结论好。 2 de Sitter空间中的类时子流形 约定各类指标的范围 1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p;1≤A,B,C,…≤n+p。 记是n+p+1维实向量空间Rn+p+1赋予伪度量 其中:令 设的度量为所诱导度量,设是包含映射,在中选取局部伪黎曼标准正交标架场 (2) 使得限制到Mn上,e1,…,en和Mn相切,并且满足 则Mn是de Sitter空间中的n维类时子流形,容易得出e1,…,en+p为的切向量,en+p+1为在的法向量。设ω1,…,ωn,ωn+1,…,ωn+p,ωn+p+1为其对偶标架,限制到上时,有ωn+p+1=0。令 (3) 用h,σ,ξ分别表示Mn在中的第二基本形式、第二基本形式长度的平方、平均曲率向量,则有 记令用H表示ξ的长度,则有 令得 trHα=0,其中α≠n+1, (4) trHn+1=nH。
de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的紧致伪脐类时子流形
