北京航空航天大学附中三维设计 高考数学二轮复习：数系的扩充与
复数的引入
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i为虚数单位，a为实数，复数z?(a?2i)(1?i)在复平面内对应的点为M，则“a?是“点M在第四象限”的( )
A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】A 2．复数
1”2
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条
1?2i（i是虚数单位）的虚部是( ) 1?i31A． B．3 C．
22D．1
【答案】C
3．满足条件|z-i|=|3+4i|复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 【答案】C
4．定义运算(a，b)※(c,d)＝ac－bd，则符合条件(z，1＋2i)※(1＋i，1－i)＝0的复数z的所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 5．复数
3?i等于( ) 1?iA． 1?2i B．1?2i
C．2?i D．2?i
【答案】D
6．设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是( )
A．ad－bc=0 B．ac－bd=0 C． ac+bd=0 D．ad+bc=0 【答案】D
7．复数2的实部与虚部之和为( )
1?iA．?1 【答案】B
B．0 C．1 D．2
8．复数z满足(1?i)z?1?i,其中i为虚数单位,则z?( ) A． ?1 【答案】D 9．若复数
B． 1
C． ?i
D． i
1?ai（i是虚数单位）的实部和虚部相等，则实数a等于( ) 2?iA．-1 【答案】D
21B．3
?1C．3
D．3
10．复数(2?i)等于( ) A．3-4i 【答案】A
B．5-4i
C．3-2i
D．5-2i
1?i311．i是虚数单位，复数i等于( )
A．?1?i 【答案】D
12．i为虚数单位，复平面内表示复数z?A．第一象限 【答案】C
B．第二象限
?i的点在( ) 2?iB．1?i C．?1?i D．1?i
C．第三象限 D．第四象限
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数（其中i是虚数单位），且θ∈［0,2π)，则θ的值为 。 【答案】
? 4214．复数?1?i??【答案】i
1的值＝____________. i(1?i)215．已知i是虚数单位，复数z?，则z等于____________．
1?i【答案】z??1?i
16．设复平面上关于实轴对称的两点Z1，Z2所对应的复数为z1，z2，若z1－(3z2－1)i＝[z2
＋(2＋z1)i] i，则z1z2＝ ． 【答案】
4136
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
t?317．已知z?t?3?33i，其中t?C，且为纯虚数．
t?3(1）求t的对应点的轨迹； (2）求z的最大值和最小值． 【答案】（1）设t?x?yi(x，y?R)，
t?3x?3?yi[(x?3)?yi][(x?3)?yi](x2?y2?9)?6yi??则， ?2222(x?3)?y(x?3)?yt?3x?3?yi∵t?3为纯虚数， t?3?x2?y2?9?0，?x2?y2?9，即? ∴?y?0，y?0，??0)(30)两点； ∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(?3，，，(2）由t的轨迹可知，t?3，
∴z?(3?33i)?3，圆心对应3?33i，半径为3，
∴z的最大值为：3?33i?3?9， z的最小值为：3?33i?3?3．
18．实数m为何值时，复数z=(m+5m+6)+（m-2m-15）i 对应的点在：
(1）x轴上方；
(2）直线x+y+5=0上.
2
【答案】(1)若复数Z对应的点在x轴上方，则m-2m-15>0,解得m<－3或m>5
222
(2)复数z对应的点为（m+5m+6，m-2m-15），∵z对应的点在直线x+y+5=0上，∴（m+5m+6）
122
+（m-2m-15）+5=0，整理得2m+3m-4=0，解得m=（-3±41 ）×
419．已知a?R，且以下命题都为真命题：
命题p: 实系数一元二次方程x2?ax?2?0的两根都是虚数； 命题q: 存在复数z同时满足z?2且z?a?1. 求实数a的取值范围.
【答案】由命题p为真，可得??a?8?0?a??22,22;
由命题q为真，可知复平面上的圆x?y?4和圆?x?a??y2?1有交点，
2222
2??2于是由图形不难得到a???3,?1?U?1,3?，
故两个命题同时为真的实数a的取值范围是a??22,?1?U?1,22.
????1
20．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线
2的三点．证明：曲线
4224
Z=Z0cost+2Z1costsint+Z2sint (t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点． 【答案】曲线方程为：
4224224422
Z=aicost+(1+2bi)costsint+(1+ci)sint=(costsint+sint)+i(acost+2bcostsint+cs4
int)
2242222
∴ x=costsint+sint=sint(cost+sint)=sint．(0≤x≤1)
422422
y=acost+2bcostsint+csint=a(1－x)+2b(1－x)x+cx
2
即 y=(a－2b+c)x+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ① 若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c?0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线．
1131
AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i．
4242
1131
与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为
424213
4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)． ②
44令 4(a－2b+c)x+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．
2
即4(a－2b+c)x+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c?0，得 2
4x+4x+1=0，
131
此方程在[，]内有惟一解： x=．
44211
以x=代入②得， y=(a+2b+c)．
2411
∴ 所求公共点坐标为(，(a+2b+c))．
24
21．已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x?1)?i?y?(3?y)i，求x与y的值． 【答案】设y?bi(b?R，且b?0)代入条件并整理得(2x?1)?i??b?(b?3)i，
2
?b?4，?2x?1??b，? 由复数相等的条件得?，解得?3．
x??．1?b?3，???2 ∴x??3，y?4i． 222．已知复数z?3?bi(b?R)，且(1?3i)?z为纯虚数． (1）求复数z； (2）若w?z，求复数w的模w． 2?i【答案】（1）(1?3i)?(3?bi)?(3?3b)?(9?b)i
Q(1?3i)?z是纯虚数
?3?3b?0，且9?b?0 ?b?1，?z?3?i
3?i(3?i)（?2?i）7?i71(2）w?????i
2?i（2?i）（?2?i）555 ?w?
71()2?()2?2 55
高考数学二轮复习数系的扩充与复数的引入
