昆明理工大学2015年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)
考试科目代码：843 考试科目名称 ：高等代数
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 当?= 时，多项式f(x)?x2??x与g(x)?x2?4x??有公共根。 2. 设A是n阶方阵，且|A|?2，则|?4A?1?A*|= 。 3. 已知向量组?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,t?2,1),?4?(1,2,4,t?9)线性相关，则t= 。 4. 已知方阵A满足A?A?2E?O，则A= ，(A?2E)?1= 。 2225. 当t满足 时，二次型f(x1,x2,x3)?tx1?tx2?tx3?4x1x2?4x1x3?4x2x3是2?1正定的。 6. 已知数域P上线性空间V中线性无关的元素组为?1,?2,?3,?4，令?1??1??2，?2??2??3，?3??3??4，?4??4??1，则子空间W?{k1?1?k2?2?k3?3?k4?4|ki?P} 的维数是 ，它的一组基为 。 7. 已知3阶方阵A的特征值为1,?1,2，则矩阵B?A?2A的特征值为 ，行列式|B|= 。 32??200???100????? 8. 设矩阵A?2x2与B?020相似，则x= ，?????311??00y?????y= 。 ?1??1??1???????9. 欧氏空间R3中一组基0,1,1的度量矩阵是 。 ???????0??0??1???????10. 设V为4维欧氏空间，?1,?2,?3,?4为V的一个标准正交基，子空间W?L(?1,?2)，其中?1??1??2,?2??1??2??3，则W= 。 第 1 页 共 3 页
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二、计算题（共90分） 1. （15分） 计算n阶行列式 1?xDn?z?00y?00?01?x??000?（其中x?yz）。 ?1?xy?z1?x2. （15分） 讨论?取何值时，下列线性方程组 ?(2??1)x1??x2?(??1)x3???1??(??2)x1?(??1)x2?(??2)x3?? ?(2??1)x?(??1)x?(2??1)x??123?有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时，求通解。 3. （20分） 求一个正交变换，将二次型 22f(x1,x2,x3)?2x12?4x1x2?4x1x3?5x2?8x2x3?5x3 化成标准二次型。 4. （20分） 给定P的两组基 3?1?(1,0,1)?2?(2,1,0)?3?(1,1,1) 现定义线性变换A满足A?i??i(i?1,2,3)， ?1?(1,2,?1)?2?(2,2,?1)?3?(2,?1,?1) （1） 试求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵； （2） 试求A在基?1,?2,?3和基?1,?2,?3下的矩阵。 5. （20分）在线性空间P[x]3中定义线性变换A为： A(a?bx?cx2)?(a?c)?bx?(c?a)x2。 （1）求A在基1,x,x下的矩阵； （2）求出P[x]3的一组基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。 三、证明题 （共30分） 1. （15分） 设?是数域P上线性空间V的线性变换，且满足???，求证： （1） ?(0)?{???(?)|??V}； （2） V??(V)??(0)。 ?1?122第 2 页 共 3 页
2. （15分） 设P是数域，m?n,A?Pm?n,B?P(n?m)?n，V1,V2分别是齐次线性方程组?A?AX?0和BX?0的解空间。求证：Pn?V1?V2的充分必要条件是??X?0只有零解。 ?B? 第 3 页 共 3 页
2015昆明理工大学考研真题之843
