2016年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及答案

由天下分享时间：2025/3/22 2:49:20 加入收藏我要投稿点赞

条件化为a?ab?b?5，

115??3，由此可得ab?，因此 ab44logwu?logwv?logvu??．

54．袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为答案：

9 35解：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，

2从而a?b?5?5?10．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为C3又此时b?a?2，?3．22即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有C7?C3?18种取法．因此，所求的概率为

3?18549． ??22C5?C710?21355．设P为一圆锥的顶点，A，B，C是其底面圆周上的三点，满足?ABC=90°，M为AP的中点．若AB=1，AC=2，AP?答案：arctan2，则二面角M—BC—A的大小为

2 3解：由?ABC=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则PO?1AC?1，进而PO?AP2?AO2?1． 2设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作HK?BC于点K，则由三垂线定理知MK?BC，从而?MKH为二面角M—

平面ABC，易知AO?BC—A的平面角．

1HKHC33??，结合HK与AB平行知，，即HK?，这样

2ABAC44MH22ta?nMKH??．故二面角M—BC—A的大小为arctan．

HK33kx4kx?cos46．设函数f(x)?sin，其中k是一个正整数．若对任意实数a，均有

1010因MH?AH?{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}，则k的最小值为

答案：16

kxkxkxkx?cos2)2?2sin2cos2 10101010kx12kx3?1?sin2?cos?

54545m?(m?Z)时，f(x)取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间(a,a?1)其中当且仅当x?k5??1，即k?5?．至少包含一个最大值点，从而k解：由条件知，f(x)?(sin2反之，当k?5?时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时

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{f(x)|a?x?a?1}?{f(x)|x?R}成立．综上可知，正整数的最小值为[5?]?1?16．

y2?1，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线与双曲线C的右半支交于7．双曲线C的方程为x?32点P，Q，使得?F1PQ=90°，则?F1PQ的内切圆半径是答案：7?1

解：由双曲线的性质知，

F1F2?2?1?3?4，PF1?PF2?QF1?QF2?2．

222因?F1PQ=90°，故PF?PF?FF1212，因此

PF1?PF2?2(PF12?PF22)?(PF1?PF2)2?2?42?22?27从而直角?F1PQ的内切圆半径

是

r?111(F1P?PQ?F1Q)?(PF1?PF2)?(QF1?QF2)?7?1 2228．设a1,a2,a3,a4是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2

则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为答案：40

122222解：由柯西不等式知，(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2，等号成立的充分必要条件

是

a1a2a3，即a1,a2,a3,a4成等比数列．于是问题等价于计算满足{a1,a2,a3,a4}?{1,2,3,…??a2a3a4n，其中m,n为m,100}的等比数列a1,a2,a3,a4的个数．设等比数列的公比q?1，且q为有理数．记q?互素的正整数，且m?n．先考虑n?m的情况．

a1n3a1n333l?此时a4?a1()?，注意到互素，故为正整数．相应地，a1,a2,a3,a4分别等于m,n33mmmn?1，满足条件并以q为公比的等m1003比数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式nl?100的正整数l的个数，即[3]．

n343由于5?100，故仅需考虑q?2,3,,4,这些情况，相应的等比数列的个数为

23m3l,m2nl,mn2l,n3l，它们均为正整数．这表明，对任意给定的q?2016年全国高中数学联合竞赛一试第7页，共14页

100100100100100[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20． 827276464当n?m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4．综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4)．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在?ABC中，已知AB?AC?2BA?BC?3CA?CB．求sinC的最大值．

b2?c2?a2解：由数量积的定义及余弦定理知，AB?AC?cbcosA?．

2a2?c2?b2a2?b2?c2同理得，BA?BC?，CA?CB?．故已知条件化为

22b2?c2?a2?2(a2?c2?b2)?3(a2?b2?c2)

即a?2b?3c．………………………………8分由余弦定理及基本不等式，得

2221222a?b?(a?2b2)222a?b?c3 cosC??2ab2ab?abab2 ??2??3b6a3b6a32所以sinC?1?cosC?7．………………………………12分 3等号成立当且仅当a:b:c?3:6:5．因此sinC的最大值是

7．……………16分 3x)?xf(x)． x?110．（本题满分20分）已知f(x)是R上的奇函数，f(1)?1，且对任意x?0，均有f(求f(1)f(1111111)?f()f()?f()f()?…?f()f()的值． 10029939850511解：设an?f()(n=1，2，3，…），则a1?f(1)?1．

n1?x1xk?1，及f(x)为奇函数．可知 )?xf(x)中取x??(k?N*)，注意到在f(?1x?1kx?1k?1??1k11111f()??f(?)?f()……………………5分 k?1kkkk2016年全国高中数学联合竞赛一试第8页，共14页

n?1ak?11ak?1n?111即．……………………10分 ?，从而an?a1?????akk(n?1)!k?1akk?1k因此

?aai?150i101?i4911 ?????(99?i)!i?1(i?1)!(100?i)!i?0i!50149i149i119929899?i……………………20分 ?(C99?C99)???2??C99?99!?99!i?099!299!i?0

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点，O为顶点作抛物线C．设P是第一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得PQ为C的切线，且｜PQ｜=2.圆C1,C2均与直线OP相切于点P，且均与轴相的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值．解：设抛物线C的方程是y2?2px(p?0)，点Q的坐

标

为

切．求点F

(?a,0)(a?0)，并设C1,C2的圆心分别为

O1(x1,y1),O2(x2,y2)．

设直线PQ的方程为x?my?a(m?0)，将其与C的方程联立，消去x可知y2?2pmy?2pa?0．因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为??4pm?4?2pa?0，解得m?知，点P的坐标为(xP,yP)?(a,2pa)．于是

222a．进而可p|PQ|?1?m2|yP?0|?1?由｜PQ｜=2可得

2a?2pa?2a(p?2a)． p4a2?2pa?4 ①……………………5分

注意到OP与圆C1,C2相切于点P，所以OP?O1O2．设

圆

C1,C2与x轴分别相切于点M，N，则OO1,OO2分别是

?POM,?PON的平分线，故?O1OO2=90°．从而由射