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导 数 重点难点归纳
导数的概念 导数的运算 导数的应用
导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导数的运算法则 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 导 数 1. 导数（导函数的简称）的定律：设x0是函数y?f(x)定律域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值
?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极??x?x限limf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个?lim?x?0?x?x?0?x极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即
f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注：①?x是增量，我们也称为“改变量”，因为?x可正，可负，但不为零. ②已知函数y?f(x)定律域为A，y?f'(x)的定律域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：
⑴函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续. 事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0.
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于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]
x?x0?x?0?x?0?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?x⑵如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为0时，
?y?y?y不存在. ?1；当?x＜0时，??1，故lim?x?0?x?x?x?y|?x|，当?x＞??x?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0). 4、几种常见的函数导数：
C'?0（C为常数） (xn')?nxn?1（n?R）
'' (sinx)?cosx (cosx)??sinx
(lnx)'?11 (logax)'?logae xx(ex)'?ex (ax)'?axlna
5. 求导数的四则运算法则：
(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x)
(uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）
vu'?v'u?u?(v?0) ???v2?v?'注：①u,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它
们的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设f(x)?2sinx?，g(x)?cosx?，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和f(x)?g(x)?sinx?cosx在x?0处均可导.
2
2x2x3
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6. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 7. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则
y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.
注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
8. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.
②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点. 9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
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导数练习
一、选择对的一项
1．设函数f(x)在R上可导,其导函数f?(x),且函数f(x)在x??2处取得极小值,
则函数y?xf?(x)的图象可能是
2．设函数f(x)?,g(x)??x2?bx.若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且仅有两
个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A．x1?x2?0,y1?y2?0 C．x1?x2?0,y1?y2?0 3．设函数f(x)=
A．x=
2+lnx 则 x1x（ ）
B．x1?x2?0,y1?y2?0 D．x1?x2?0,y1?y2?0
（ ）
1为f(x)的极小值点 2D．x=2为 f(x)的极小值点
（ ）
1为f(x)的极大值点 2C．x=2为 f(x)的极大值点 4．设a>0,b>0,e是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b,则a>b B．若ea+2a=eb+3b,则ab D．若ea-2a=eb-3b,则a
B． x=
5．函数y=
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x?㏑x的单调递减区间为 2A．(?1,1] B．(0,1] C．[1,+∞)
（ ）
D．(0,+∞)
6．已知f(x)?x3?6x2?9x?abc,a?b?c,且f(a)?f(b)?f(c)?0.现给出如下
结论:①f(0)f(1)?0;②f(0)f(1)?0;③f(0)f(3)?0;④f(0)f(3)?0.
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其中正确结论的序号是 A．①③ B．①④ 7．已知函数f(x)?（ ）
C．②③
D．②④
1;则y?f(x)的图像大致为
ln(x?1)?x
8．设a>0,b>0.
A．若2a?2a?2b?3b,则a>b C．若2a?2a?2b?3b,则a>b B．若2a?2a?2b?3b,则a
（ ）
9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f?(x),且函数y?(1?x)f?(x)的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(?2) D．函数f(x)有极大值f(?2)和极小值f(2) 10．设函数f(x)?xex,则
A．x?1为f(x)的极大值点 C．x??1为f(x)的极大值点
B．x?1为f(x)的极小值点 D．x??1为f(x)的极小值点
（ ） （ ）
11．设a?0且a?1,则“函数f(x)?ax在R上是减函数 ”,是“函数
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g(x)?(2?a)x3在R上是增函数”的 （ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
（ ）
12．已知函数y?x3?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点,则c?
A．?2或2
二、填空习题
13．曲线y?x(3lnx?1)在点(1,1)处的切线方程为________
14．曲线y?x3?x?3在点?1,3?处的切线方程为___________________. 三、简答题
15．已知函数f(x)?ax3?bx?c在x?2处取得极值为c?16
B．?9或3
C．?1或1
D．?3或1
(1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[?3,3]上的最大值.
16．已知a∈R,函数f(x)?4x3?2ax?a
(1)求f(x)的单调区间
(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2?a>0.
11?a217．已知函数f(x)?x3?x?ax?a(a?0)
32(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间(?2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a?1时,设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M(t),最小值为
m(t),记g(t)?M(t)?m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值.
学习就到这里了，最后祝大家逢考必过！！！
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