若将x?视为i的函数，由(6’)式可知，?x??i为常量，所以x?与i的关系可以用一直线方程表示，即
x??LBli?b 式中b为常数，其值待定．现已知在t＝?时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为x0，这时i = 0，故得
x??LBli?x0 或 i?BlL?x??x0?
x0表示t＝?时刻金属杆ab相对于cd杆的位置．x?表示在任意时刻t时ab杆相对于cd杆的位置，故?x??x0?就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t＝?时刻的相对位置的位移，即从t＝?到t＝t时间内ab杆相对于cd杆的位移
X?x??x0 于是有
i?BlLX
任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有
?iBl?maab
iBl?macd
两式相减并注意到(9?)式得 2
m?a??2Bl2ab?acd???2iBlLX
式中?aab?acd?为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位
2B2移．l2L是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期
T?2π?m2B2l2L?
在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移
X?Acos??2π??Tt????
A为简谐振动的振幅，??为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X随时间的变化率即
速度
V?A??2π???T??sin?2π?T?????
现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度V?v0
(7’)
(8’) (9’)
10') (11’)
(12’) (13’)
(14’)
(15’)
(16’)
(17’)
(
故有
0?Acos?
v??A??2π?0?T??sin?
解这两式，并注意到(15’) 式得
??3π2
A?v0mL2πT?v0Bl2
由此得
X?v0mLBlcos??2πt?3π??vmL??T22sin?2??Bl???02Blt ?mL??因t = 0时刻，cd杆位于x = 0 处，ab杆位于x = x0 处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，
cd杆位于x = xcd 处，ab杆位于x = xab处，两者的相对位置由xab－xcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = xab－xcd－x0 所以
x0mL?2?ab?xcd?x0?vBl2sin??Bl?t ?mL??(12’)和(13’)式相加, m?aab?acd???iBl?iBl?0
得
?aab?acd??0
由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为
xab＋xcd = x0＋v0t 由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得
x1vab?x0?0mL?2v0t?2Bl2sin?2??Bl?t ?mL?? x0mL?2?cd?12vv0t?2Bl2sin??Bl?t?mL? ?由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流
i?vm?02Lsin?2??Bl?t ?mL??评分标准：本题25分．
解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．
(18’)
(19’)
(20’)
(21’)
22’）23’）24’）（
（
（
解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分． 第21届全国中学生物理竞赛复赛题的参考答案公布在 新浪网教育频道： 网址http://www.sina.com.cn 中国物理教育网：网址http://www.cpenet.org.cn 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)
第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷及答案
