天津南开中学2020届高三第四次月考数学试卷

（3） 由（2）知 ，所以

所以

20. （1） 函数的定义域为 由已知可得 当 当

时， 时，由 在

，故

．

． 在区间

；由

上单调递增，

，解得

上单调递减．

无极值．

．

，解得 上单调递增，在 所以函数

的极大值为 ，无极小值． ，故只需证明

在 上为增函数，且

，且

时，

． ，

，

，

．

（2） 令 函数 故 当 从而当 由 即 故 综上，当

时， 在 时， 时，，得

，

上有唯一实数根

，当 取得最小值．

，

．

，即

．

有且只有三个不同的零点，

（3） 因为函数

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显然 所以函数 即

是其零点，

存在两个零点，

有两个不等的实根．

在区间

的图象与函数

， ，解得

在

上单调递增； ，解得 的图象与

，，故

在

上单调递减；

，，

（，

． 上，即 ），

，

上有两个不等的实根． 的图象有两个交点．

可转化为方程 即函数 因为 所以由 故 由 故函数

的图象的交点分别在 上，设两个根分别为 ，，

，且

的两个根分别在区间 所以 令

的三个不同的零点分别是 ，则

．

由 解得 故 ，．

令 令 则 所以 即 所以 即

，即 在区间

，则 ，

．

．

上单调递增， ．

在区间

，

2e2?1 上单调递增，

?? ．

所以

，即x1x3?ee?12第12页（共12 页）