．
3．函数y?????????AB和AD表示)
2．命题“?x?R,x?x?1≤0”的否定是 4．若角α的终边经过点P(a，2a)(a<0)，则cos α= 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
5．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a3?2a6?0，则
8．已知直线x?y?1?0与曲线y?lnx?a相切，则a的值为
1．已知集合A=?2,3,4?，B=?a?2,a?，若A?B=B，则eAB? 9．在△ABC中，BC＝1，B＝3，△ABC的面积S＝3，则边AC等于 6．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝
－x2＋2x，x＞0，
0，x＝0，
10．已知函数f(x)＝x2＋mx，x＜0是奇函数且函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取
27．已知命题p：|x－a|<4，命题q：(x－1)(2－x)>0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 值范围为
{．
．
log0.2x的定义域为 ．
江苏南通中学2017届高三上学期理科数学期中测试题
．
．
π
数学I(必做题 共160分)
)S3
的值是 ．S6
．(用
．
．
11．函数y＝2sin
数a的取值范围是
(1)求?的值；
2x－
16．(本小题满分14分)
15．(本小题满分14分)
()π
．
1数y?f(x)的周期为4，且经过点M(1,)．
2????????12．如图，点O为△ABC的重心，且OA?OB，AB?4，则AC?BC的值为
(2)当?1?x?1时，求函数f(x)的最值．
2213．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1?1，2Sn?(n?1)an，若关于正整数n的不等式an?tan≤2t的
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
??a?x+1, x≤1,f(x)?14．已知函数 函数g(x)?2?f(x)，若函数y?f(x)?g(x) 恰有4个零点，则实?2(x?a), x?1,??设公差不为零的等差数列?an?的前5项的和为55，且a2,a6?a7,a4?9成等比数列．
6与y轴最近的对称轴方程是 解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为
?????????已知向量a?(sin(x??),1)，b?(1,cos(x??))(??0,0???)，记函数f(x)?(a?b)?(a?b)．若函
224(1)求数列?an?的通项公式．
．
．
．
(Ⅱ)若?A=(2)设数列bn?(Ⅰ)求?ABC；
18．(本小题满分16分)
17．(本小题满分14分)
(2)求函数f(x)的单调区间；
三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
19． (本小题满分16分) 已知函数f(x)?ax?(1)当a?1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
14bn?的前n项和Sn?．，求证：数列?(an?6)(an?4)2如图，在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，a?b(sinC?cosC)．
?，D为?ABC外一点，DB?2，DC?1，求四边形ABDC面积的最大值． 2如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改
建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和
a?2?2?2a(a?0)．x20．(本题满分16分)
[]22．(本小题满分10分)
数学II(附加题 共40分)
21． (本小题满分10分)
n(1)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有
(3)若f(x)≥2lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围．
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?an?4，n?N*
{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．
(2)已知cn?2n?3(n?N*)，记dn?cn?logCan(C?0且C?1)，是否存在这样的常数C，使得数列
1 －23
?1?1设矩阵A＝3 －7的逆矩阵为A，矩阵B满足AB＝1，求A，B．
?1?n?2b1an?b2an?1?b3an?2???bna1????成立，求证：数列{bn}是等差数列．
22??[]23．(本小题满分10分)
?12?设矩阵A???，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．
21??已知曲线C的极坐标方程为 ?＝2cosθ，直线l的极坐标方程为 ? sin(θ＋6)＝m．若直线l与曲线C有
π
且只有一个公共点，求实数m的值．
24． (本小题满分10分)
{x＝4cosθ
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：y＝3sinθ)(?为参数，?∈R)，直线l：
求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．
(t为参数，t∈R)，
5．2
4．?8．?29．1312．321．?3?
3．(0,1]5513．(1,)11．x??7．[－2，5]
10．(1，3]．
32?614．2?a≤32?2????1???6． AB?AD232．?x?R,x?x?1?0
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
?????2?2??15．解：(1)f(x)?(a?b)?(a?b)?a?b?sin2(x??)?cos2(x??)??cos(?x?2?)22二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
………………4分
即sin2??当?1?x?1时，?由题意得：周期T?1?1(2)∵图象过点M(1,)，??cos(?2?)?222得bn???3?22??(2)由(1)an?2n?5，
?4，故??x??6??217．解：(Ⅰ)在?ABC中，∵a?b(sinC?cosC)，
16．解：(1)设等差数列的的首项为a1，公差为d，
11?当x??时，f(x)min??1，当x?1时，f(x)max?．
32故数列?an?的通项公式为an?7?2(n?1)即an?2n?5．………… 7分
5?4?5a?d?55?a?7?a1?11?12??1则?或?(舍去)
d?0?(a?5d?a?6d)2?(a?d)(a?3d?9)?d?2?1111?111111111Sn?b1?b2???bn?[(1?)?(?)???(?)]?(1?)?．…14分
23352n?12n?122n?12∴sin(??B?C)?sinB(sinC?cosC)，
2?1?????cos(x?)?13226∴sinA?sinB(sinC?cosC)， ……………………………………………1分
………………6分
1????，而0???，故2??，则f(x)??cos(x?)． ………………10分24626………………14分
11111??(?)．…………10分
(an?6)(an?4)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1又A=∴当D=S?ABC?又S?BDC?∴S四边形ABDC?又B?(0,?)，∴B?∴cosBsinC?sinBsinC，
∴cosB?sinB，即tanB?1．
又∵C?(0,?)，故sinC?0，
?． 4(Ⅱ)在?BCD中，DB?2，DC?1，
∴?ABC为等腰直角三角形，
??，由(Ⅰ)可知?ABC?，2418．解：(1)因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，
在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
BC2=12?22?2?1?2?cosD?5?4cosD． ………………………………7分
∴sin(B+C)?sinB(sinC?cosC)，……………………………………………2分
∴sinBcosC?cosBsinC?sinBsinC?sinBcosC， ……………………… 3分
1115?BC??BC?BC2??cosD， ……………………………… 9分22441?BD?DC?sinD?sinD， ……………………………………10分255??cosD?sinD??2sin(D?)． 4441
……………………………………………5分……………………………………………6分…………………………………………8分
x·OA2
……………………………………………4分
所以△COD 的面积S△COD＝2·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．
……………………12分
所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝2＝800x，0＜x＜π． …………… 2分
??5时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为?2．………14分44………………… 5分
由 S′(x)＝0，解得x＝3．
19．解：(1)当 a?1 时，f(x)?x?所以 当x＝3，S(x)取得最大值．
35f(2)?, f?(2)? 24(2)由(1)知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋2)．
(Ⅱ)函数的定义域为：{x|x?0}
即：5x?4y?4?0
所以，函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?a?2ax2?(2?a)f(x)?a?2?(a?0) xx22π2π
'2π
2π2π
2π
2π
1
从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
从而当0＜x＜3时，S′(x)＞0；当3＜x＜π时， S′(x)＜0 ．
答：当∠AOC为3时，改建后的绿化区域面积S最大．……………… 16分
因此 S(x)在区间(0，3)上单调递增；在区间(3，π)上单调递减． …………… 14分
'当a?2时，令f(x)?0，即：ax2?2?a?0，x1??……………… 9分
11，f?(x)?1?2 …………2分xx35?(x?2)24…………3分
'当0?a?2时，f(x)?0恒成立，所以，f(x)在(??,0)和(0,??)上单调递增
a?2,x2?a…………4分
…………6分
…………………7分
a?2a若?若??'…………10分
所以，f(x)单调递增区间为(??,?当x?(?a?2 a当x?(1,?所以，令g(x)?ax?在[1,??)上恒成立．
因为g(1)?0,所以g(?'令g(x)?0,则x1?1,x2??20．解：(1)a1?4?a1，所以a1?2
所以，f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立；
a?2?2?2a?2lnx，xa?2)?0不合题意． a又因为g(1)?0，所以f(x)?2lnx恒成立
综上知，a的取值范围是[1,??)．
(Ⅲ)因为f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立，有ax?f'(x)?0,x?x2或x?x1;f'(x)?0,x1?x?0或0?x?x2，
a?22ax2?2x?a?2(x?1)[ax?(a?2)]?则g(x)?a?2??．xxx2x2a?2a?2?1,即a?1时，当x?(0,?),(1,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增，aaa?2a?2?1，即a?1时，当x?(0,1),(?,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增；aaa?2?1，即a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在[1,??)上单调递增，又g(1)?0aa?2,1)时，g'(x)?0,g(x)单调递减，所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(1)aa?2a?2)时，g'(x)?0，g(x)单调递减所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(?)，aaa?2a?2a?2a?2)和(,??)，单调减区间为(?,0)和(0,)． aaaa………………1分
a?2?2?2a?2lnx?0(a?0)x…………16分
当n?2时，所以an?2n?1，b1a1?2?n②式两边同时乘以
b1an?b2an?1?b3an?2①式减去③得，bna1?(3)b1an?b2an?1?b3an?2b1an?1?b2an?2?b3an?3*C?2，此时dn?7
数列{an}是以2为首项，公比为
(2)由于数列{dn}是常数列
两式相减得，2an?an?1，
(n?N)
1得，2………8分
nn?1dn=cn?logCan?2n?3?(2?n)logC2
?1????bn?1a1????2?an1? an?121的等比数列，2n?由Sn?an?4得n?2时，Sn?1?an?1?4
131???1，其中a1?2，所以 b1?? 222?2n?3?2logC2?nlogC2?(2?logC2)n?3?2logC2为常数，只有2?logC2?0；解得
n?1?1????bn?1a2????③
4?2?n?2?1????bna1????……①
22??……………4分
?n?3n3，所以bn???488n?1② 2……………6分
…………2分
…14分…10分…12分
且bn?1?bn??所以数列{bn}是以?[][18?1??1?][||[]23．解：曲线C的极坐标方程为 ?＝2cosθ，
7 －2
由逆矩阵公式得，A－1＝3 －1． …5分
][][]11为首项，公差为?的等差数列． 28数学II(附加题 共40分)
1 －21 －2
21．解：因为A＝3 －7，所以|A|＝3 －7＝－7＋6＝－1．
…16分
37 －2319
因为AB＝1，所以B＝A－1AB＝3 －1 1＝8．…………………………10分
?12???33?12421222．解：矩阵A的逆矩阵为??，则特征多项式为f(?)?(??)??????3933?2?1??3??3?个特征向量为??．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)
1?1?易算得特征值?1??1对应的一个特征向量为??，同理可得特征值?2?对应的一
3??1??12???33??x?1?x??x????1,??f(?)?0令，解得1，设特征向量为??，则?????????， 2321yy?y?????????3??3?所以
|1－2m|
2
{1
24．解：将直线l的参数方程
点P到直线l的距离d＝
)＝
所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmin＝
1πx＝3＋
3
y＝－3＋
2 2所以点P到直线l的距离的最小值为
t 2t
因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，化为直角坐标方程为x＋ 3y－2m＝0．
＝1，解得m＝－2或m＝2．
所以，所求实数m的值为－2 或 2．
化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x．
{)3
直线l的极坐标方程是 ? sin(θ＋6)＝m，即2?cosθ＋
，其中tanφ＝4，φ是锐角．
．
……………… 10分
3
1
………………… 6分
?sinθ＝m，
2化为普通方程为x－y－6＝0．
x＝4cosθ
因为点P在曲线C：y＝3sinθ(θ为参数)上，所以设P(4cosθ，3sinθ)．
即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． …………………… 3分
．…………………………………10分
VIP专享江苏南通中学2017届高三上学期理科数学期中测试题
