《线性代数》复习提纲
第一章、行列式
1．行列式的定义：用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n?3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
?行列式值为0
的几种情况：
Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式Mij、代数余子式Aij?(?1)i?jMij
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
（-1）aq1aq2?aqn，t为q1q2?qn的逆序数 n阶行列式也可定义：D??12nt4.行列式性质：
1、行列式与其转置行列式相等。
2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.
5.克拉默法则： ：若线性方程组的系数行列式D?0，则方程有且仅有唯一解x1?DD1D,x2?2，?，xn?n。 DDD：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式D?0，则其没有非零解。 ：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。
r1r1r2?rna??a?c
6.
??r
r?r1rn ，
rnr2????1?n(n?1)2?r
r?r1rnbb?d1x12?(ad?bc)n, x11x22x21x32x3???1xn2xn?
cd?x1n?1?n?1x2??n?i?j?1?(xi?xj)，（两式要会计算）
n?1n?1x3?xn范德蒙德行列
题型：Page21（例13）
第二章、矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=kn*|A|。只有方阵才有幂运算。 （3）转置：（kA）T=kAT， ?AB?T?BＴAＴ
（4）方阵的行列式：AT?A，kA?knA，AB?AB
－１（5）伴随矩阵：AA*?A*A?AE，A*?，A*的行元素是A的列元素的代数余子式 （AE）Ａ（6）共轭矩阵：Ａ＝（aij），A+B=A+B，kA?kA，AB?AB
?A11?B11?A?B??（7）矩阵分块法：??A?Bs1?s1??T?A11A1r?B1r??ATs1????T??? ?，A????AT?AT?Asr?Bsr??sr??1r3．对称阵：方阵AT?A。 对称阵特点：元素以对角线为对称轴对应相等。 3．矩阵的秩
（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
（3）0≤R(Am?n)≤min{m,n} ； R?AT??R?A? ；若A~B，则R(A)=R(B) ；
若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A) ; max{R(A),R(B)} ≤R(A,B) ≤R(A)+R(B) ； 若AB=C，R(C)≤min{R(A),R(B)} 4．逆矩阵
（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：?AB??1?B?1A?1， ?A'?-1??A-1? '；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） （3）可逆的条件：① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A->I;
A*1伴随矩阵法A?；②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A?1） （4）逆的求解：○
A-11存在有限个初等矩阵P1，…，Pl，使A?P1P2?Pl ○2A~E （5）方阵A可逆的充要条件有：○
第三章、初等变换与线性方程组
ｉ?ｊｉ＋ｋ?ｊｉ?ｋ1?Ａ??2?Ａ??3?Ａ??1、 初等变换：○? 性质：初等变换可逆。 ????Ｂ???Ｂ?，○?Ｂ?，○??? 等价：若A经初等变换成B，则Ａ与Ｂ等价，记作A~B，等价关系具有反身性、对称性、传递性。
初等矩阵：由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
定理：对Am?n施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵；对Am?n施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘相应的n阶初等矩阵。
1 R(A)=R(B)=R(A,B) 等价的充要条件：○
2m?n的矩阵Ａ、Ｂ等价?存在m阶可逆矩阵P、n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。 ○
线性方程组解的判定
定理：(1) r(A,b)≠r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A) 特别地：对齐次线性方程组AX=0，(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A) （1）解的情况：r(A)=n?只有零解 ； r(A)
考研线性代数知识点全面总结
