高数下册公式总结

第八章 向量与解析几何

向量代数 定义与运算的几何表达 定义 向量 模 uuur有大小、有方向. 记作a或AB 向量a的模记作a 在直角坐标系下的表示 a?axi?ayj?azk?(ax,ay,az) rrrax?prjxa,ay?prjya,az?prjza a?ax2?ay2?az2 c?a?b??ax?bx,ay?by,az?bz? 和差 c?a?b c?a－b 单位向量 aa?0，则与a同向的单位向量为ea? ea?a(ax,ay,az)ax?ay?az222 方向余弦 设a与x,y,z轴的夹角分别为?，?，?，则方向余弦分别为cos?，cos?，cos? ayaxacos??r，cos??r，cos??rz aaaea?(cos?，cos?，cos?) cos2?+cos2??cos2??1 a?b?axbx?ayby?azbz 点乘（数量积） a?b?abcos?， ?为向量a与b的夹角 c?absin? 叉乘（向量积） ?为向量a与b的夹角 c?a?b 向量c与a，b都垂直且右手系 定理与公式 垂直 平行 ia?b?axbxjaybykaz bza?b?a?b?0 a//b?a?b?0 a?b两向量夹角余弦cos?? ab向量a在非零向量b上的投影 a?b?axbx?ayby?azbz?0 axayaza//b??? bxbybzcos??axbx?ayby?azbzax?ay?az?bx?by?bzprjba?axbx?ayby?azbzbx?by?bz222222222交角余弦 投影 a?b prjba?acos(a?b)?b 平面 法向量n?{A,B,C} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点法式 方程形式及特征 直线 方向向量T?{m,n,p} 点M0(x0,y0,z0) 方程名称 一般式 点向式 方程形式及特征 ?A1x?B1y?C1z?D1?0 ??A2x?B2y?C2z?D2?0Ax?By?Cz?D?0 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 x?x0y?y0z?z0?? mnpx?x1三点式 y?y1y2?y1y3?y1z?z1z2?z1?0 z3?z1两点式 线线垂直 线线平行 线面平行 参数式 x2?x1x3?x1截距式 面面垂直 面面平行 线面垂直 xyz???1 abcA1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1?? A2B2C2ABC?? mnp?x?x0?mt??y?y0?nt ?z?z?pt0?x?x0y?y0z?z0?? x1?x0y1?y0z1?z0m1m2?n1n2?p1p2?0 m1n1p??1 m2n2p2Am?Bn?Cp?0 点面距离 M0(x0,y0,z0) Ax?By?Cz?D?0 面面距离 Ax?By?Cz?D1?0 Ax?By?Cz?D2?0 d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222 d?D1?D2A?B?C222 面面夹角 ??n1?{A1,B1,C1}n2?{A2,B2,C2} 线线夹角 s1?{m1,n1,p1} s2?{m2,n2,p2} 线面夹角 s?{m,n,p} n?{A,B,C} Am?Bn?CpA2?B2?C2?m2?n2?p2cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A1?B1?C1?A2?B2?C2222222 cos??m1m2?n1n2?p1p2222m12?n12?p12?m2?n2?p2 sin?? ?x??(t)，? ?y??(t)，?z??(t)，?切“线”方程：切向量 ?T?(??(t0),??(t0),??(t0))x?x0y?y0z?z0?? ??(t0)??(t0)??(t0) 空(??t??) 间曲切向量 线 ?F(x,y,z)?0i?：r法平“面”方程： ??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 切“线”方程：?T?Fx?G(x,y,z)?0Gx jFyGykFz GzPx?xPy?yPz?zP?? mnp法平“面”方程： :?(m,n,p)空间曲面 ?：法向量 m(x?xP)?n(y?yP)?p(z?zP)?0 切平“面”方程： Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fx(x0,y0,z0)(y?y0)F(x,y,z)?0 rn?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0), Fz(x0,y0,z0))?Fx(x0,y0,z0)(z?z0)?0法“线“方程： x?x0y?y0z?z0 ??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

第十章 重积分

积分类型 二重积分 重积分 计算方法 （1） 利用直角坐标系 典型例题 X—型 ??f(x,y)dxdy??dx?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy Y—型 ??f(x,y)dxdy??Ddcdy??2(y)?1(y)f(x,y)dx I???f?x,y?d?D（2）利用极坐标系 使用原则 (1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含(x?y), ?为实数 ) 22? 平面薄片的质量 质量=面密度?面积 ??f(?cos?,?sin?)?d?d?D??d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d? 计算步骤及注意事项 1． 画出积分区域 2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 三重积分 ?投影法(1) 利用直角坐标? 截面法?投影法：截面法：???f(x,y,z)dV????Dxydxdy?Dzz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz ????f(x,y,z)dV??dz??f(x,y,z)dxdy cdI??x??cos??（2） 利用柱面坐标 ?y??sin? ?z?z?相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围: 1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(x?y) ○22???f(x,y,z)dV? 空间立体物的质量 质量=密度?面积 ?x??cos??rsin?cos??（3）利用球面坐标 ?y??sin??rsin?sin? ?z?rcos??dV?rsin?drd?d? 适用范围: 1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○2考试不作要求，考研重点掌握 2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，f(x?y?z) ○222I??d??d???1?1?2?2r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?dr

第十一章曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 积分类型 第一类曲线积分 计算方法 典型例题 参数法（转化为定积分） （1）L:y?y(x), a?x?b I?（2）L:?I??f(x,y)ds L?baf(x,y(x))1?y'2(x)dx 曲形构件的质量 质量=线密度?弧长 平面第二类曲线积分 ?x??(t)(??t??) y??(t)???I??f(?(t),?(t))??2(t)???2(t)dt （1） 参数法（转化为定积分） ?x??(t)L:?(t:? ? ?) y??(t)?? LPdx?Qdy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt ???x??(t)?三维情形：?:?y??(t)(t:? ? ?) ?z??(t)? ? ?Pdx?Qdy?Rdz??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t) ?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?? ?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dtI??Pdx?Qdy L（2）利用格林公式（转化为二重积分） 条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） ②P，Q具有一阶连续偏导数 结论： 变力沿曲线所做的功 ?LPdx?Qdy???(D?Q?P?)dxdy ?x?y ?满足条件直接应用?应用：?有瑕点，挖洞 ?不是封闭曲线，添加辅助线?（3）利用路径无关定理（特殊路径法） 等价条件：①?Q??P ②?x?y③?Pdx?Qdy?0 L?LPdx?Qdy与路径无关，与起点、终点有关 ④Pdx?Qdy具有原函数u(x,y) （特殊路径法，偏积分法，凑微分法） （4）两类曲线积分的联系 I??Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds LL 第一类曲面积分 投影法 I???f(x,y,z)dS曲面薄片??：z?z(x,y) 投影到xoy面 2I???f(x,y,z)dS???f(x,y,z(x,y))1?zx2?zydxdy ?Dxy的质量 质量=面密度?面积 第二类曲面积分 类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 （1）投影法 1??Pdydz????P(x(y,z),y,z)dydz ○?Dyz?：x?x(y,z)，?为?的法向量与x轴的夹角 前侧取“+”，cos??0；后侧取“?”，cos??0 2??Qdzdx????Q(x,y(x,z),z)dzdx ○?Dzx?：y?y(x,z)，?为?的法向量与y轴的夹角 右侧取“+”，cos??0；左侧取“?”，cos??0 3??Rdxdy????R(x,y,z(x,y))dxdy ○?Dxy I???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ??：z?z(x,y)，?为?的法向量与z轴的夹角 上侧取“+”， cos??0；下侧取“?”，cos??0 （2）高斯公式 条件：①?封闭，分片光滑，是所围空间闭区域?的外侧 ②P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：流体流向曲面一侧的流量 ò??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(???P?Q?R??)dV ?x?y?z ?满足条件直接应用应用：? 不是封闭曲面，添加辅助面?（3）两类曲面积分之间的联系 ??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ?? 转换投影法：dydz?(?

所有类型的积分：

?z)dxdy?xdzdx?(??z)dxdy ?y1定义：四步法——分（任意分割）、匀（任意取点）、和（求和）、精（求极限）； ○

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○

第十二章 级数

1 若级数收敛,各项同乘同一非零常数仍收敛○

2两个收敛级数的和差仍收敛○

不改变其收敛性

用收敛定义，limsn存在

n??注：一敛、一散之和必发散.

3去掉、○加上或改变级数有限项

一

般项级

数

4若级数收敛○

则对这级数的项任意加括号后所

则原来级

常数项级数的基本性质

成的级数仍收敛，且其和不变。 推论

如果加括号后所成的级数发散

数也发散

注：收敛级数去括号后未必收敛.

则limun?0 n?0常数项级数的基本性质

5（必要条件） 如果级数收敛○常

数项级数

交错 级数

莱布尼茨判别法

若un?un?1且limun?0，则?(?1)n?1unn??n?1?收敛

比较判别法

?un和?vn都是正项级数，且un?vn. 若?vn收敛，则?un也收敛；若?un发散，则?vn也发散.

1若?un和?vn都是正项级数，且limun?l，则○

n??正

项级数

比较判别法的极限形式

vn2若l?0,?v收0?l???,?un与?vn同敛或同散;○n3如果l敛,?un也收敛；○

比值判别法

根值判别法

???，?vn发散，?un也发散。

?un是正项级数，limun?1??,limnun??,则??1时

n??n??un收敛；??1(????)时发散；??1时可能收敛也可能发

收

敛性

?an?0?n1,??0;R???,??0;R?0,????. xn,liman?1??,R?n??an?缺项级数用比值审敛法求收敛半径

1在收敛域I上连续;○2在收敛域(?R,R)内可导，3且可逐项求导;○s(x)的性质○

无穷级数幂级数

和函数和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

展成幂级数直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式

??11??xn(?1?x?1) ex??xn (???x???) 1?xn?1n?1n! T?2?

T?2l?1a0f(x)???(ancosnx?bnsinnx) a0??2n?1????f(x)dx

傅

立叶级数

an?1?????f(x)cosnxdx bn?1?????f(x)sinnxdx 收敛定理

x是连续点,收敛于f(x);x是间断点,收敛于1[f(x?)?f(x?)]

2周期 延拓

f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓.