第一部分 专题2 第2讲
题型 1.三角恒等变换 2.解三角形 3.正弦定理和余弦定理的实际应用 对应题号 1,4,5,7,9 2,3,8,11,12,13,14 6,10
基础热身(建议用时：40分钟)
1．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( ) 1A．
2C．
2 2
B．D．
3 33 2
1
A 解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝.故选A项．
2
2．设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
πA．
6πC．
2
πB．
32πD．
3
B 解析 因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即b2＋a2－c2＝ab，利用余弦定理可得b2＋a2－c2ab1π
cos C＝＝＝，所以C＝.故选B项．
2ab2ab23
Ac－b3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形
22c状为( )
A．等边三角形 C．等腰三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
1－cos A1bb
B 解析 由已知可得＝－，即cos A＝，b＝ccos A．由余弦定理得cos A＝
222ccb2＋c2－a2b2＋c2－a2
，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．故选B项． 2bc2bc
π15ππ
x－?＝，则cos?2x－?＋sin2?－x?的值为( ) 4．已知cos?3??3?3??3?1
A．－
95C．
3
1B．
95D．－ 3
5ππ2πππ
2x－?＋sin2?－x?＝－cos?2x－?＋sin2?x－?＝1－2cos2?x－?＋1－C 解析 cos?3?3???3???3??3?ππ5
x－?＝2－3cos2?x－?＝.故选C项． cos2??3??3?3
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b C．A＝2B
B．b＝2a D．B＝2A
A 解析 等式右边＝2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B，等式左边＝2sin Bcos C＋sin B，则2sin Bcos C＋sin B＝sin Acos C＋sin B，因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0，所以2sin B＝sin A，根据正弦定理，得a＝2b.故选A项．
6．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为( )
A．700 m C．600 m
B．640 m D．560 m
MDC 解析 根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝＝sin 45°4002.因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA3
4002×MAsin∠AMC2
＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理得AC＝＝＝4003，在
2sin∠MCA
2Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝4003×
3＝600(m)．故选C项． 2
πππ1
－α?＝?0<α
π?1ππππ1π－α＝，所以cos?＋α?＝cos?－?3－α??＝sin?－α?＝；又0<α<，解析 因为sin????3?3?6??3?3?2?2π?ππ2π
所以<＋α<，所以sin??6＋α?＝663
答案
22
3
c－bsin A
＝，则2c－asin B＋sin C
π?
1－cos2??6＋α?＝1?222
1－??3?＝3. 8．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角B＝________.
解析 由
c－b
c－bsin Aa
＝及正弦定理得＝，则a2＋c2－b2＝2ac，所以2c－asin B＋sin C2c－ab＋c
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