课时分层作业(二十二)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为( ) A.5 C．1
B．－5 D．－1
a·b3－8
D [向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：|b|＝5＝－1，故选D.]
2．已知向量a＝(－1,1) ，b＝(－2，y) ，且a∥b，则|a＋b|的值为( ) A.5 C．32 C [∵a∥b， ∴y＝2，
∴b＝(－2,2)，a＋b＝(－3,3)， ∴|a＋b|＝32. 故选C.]
3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( ) A．23 C．63
D [因为|a|2＝(－4)2＋32＝25， a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，
所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于( ) 10A.10 310C.10
A [设b＝(x，y)，则
B．5 D．18
B．57 D．83
1B.3 4D.5
a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)， ?2＋3x＝5，?x＝1，?所以解得? ?1＋3y＝4，?y＝1，即b＝(1,1)，
3a·b所以cos θ＝|a||b|＝，
1010
所以sin θ＝1－cos2θ＝10.] 5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2,1) ?31?C.?2，2? ??
B．(1,0) D．(0，－1)
A [设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)， 因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0， x－1y＋1
因为(c－a)∥b，所以1＝2，即2x－y－3＝0. ?x－y－1＝0，?x＝2，由?解得?所以c＝(2,1)．] ?2x－y－3＝0，?y＝1，二、填空题
6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________. －1或2 [已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得到：x2－x－2＝0?x＝－1或2，故答案为：－1或2.]
7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________． 19 [ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0， 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]
8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
465
－65 [不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)， 所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8， |a＋b|＝26，|a－b|＝10， 所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为三、解答题
9．已知向量a，b满足|a|＝5，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b. (1)求向量a的坐标． (2)求向量a与b的夹角． [解] (1)设a＝(x，y)，
因为|a|＝5，则x2＋y2＝5，① 又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b， 2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，
所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，② ?x＝1，?x＝－2，由①②解得?或?
y＝2y＝1，??所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)． (2)设向量a与b的夹角为θ， a·b
所以cos θ＝|a||b|＝?－2，1?·?1，－3?2
＝－2，
1＋221＋?－3?2
3π
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝4.
－8465
＝－65.] 26·10
?1，2?·?1，－3?2a·b
＝－或cos θ＝
2|a||b|＝1＋221＋?－3?2
数学人教A版必修4课时分层作业22 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
