数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?? ??x?xx2?x1?x注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是limf(x0??x)?f(x0)?y，则?lim?x?0?x?x?0?x称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或
y'|x?x0，即f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数 函数 导函数 y?c y?xn?n?N*? y?ax?a?0,a?1? y'?0 y'?nxn?1 y'?axlna y'?ex 1 xlna1y'? xy'?y?ex y?logax?a?0,a?1,x?0? y?lnx y?sinx y?cosx y'?cosx y'??sinx
6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有： 和差的导数运算 ?f(x)?g(x)?'?f'(x)?g'(x) ?f(x)?g(x)?积的导数运算 '?f'(x)g(x)?f(x)g'(x) 特别地：??Cf?x???'?Cf'?x? ?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)(g(x)?0) ?g(x)??2???g(x)??1??g'(x)特别地：? ?'?2gxgx??????'商的导数运算 复合函数的导数 yx??yu??ux? 微积分基本定理 ?f?x?dx? ab（其中F'?x??f?x?） 和差的积分运算 ?ba[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dxaabb 特别地：积分的区间可加性 ?bakf(x)dx?k?f(x)dx(k为常数)ab?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b)accb 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f'(x)
②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在?a,b?上的极值；
⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤:分割?近似代替?求和?取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1
?1dx?b?a
ababbbbb性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0
①推广：?[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fm(x)
aaaa ②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????f(x)dx
aac1ckbc1c2b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义： 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 ．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ．．．．
14.归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 ．．．．
17.类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 推测新的结论
18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 ．．．．
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 ．．．
26常见的“结论词”与“反义词” 原结论词 反义词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 一个也没有 至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个 原结论词 对任意x不成立 p或q p且q 反义词 存在x使成立 对所有的x都成立 存在x使不成立 ?p且?q ?p或?q
27.反证法的思维方法:正难则反 ．．．．
28.归缪矛盾 （1）与已知条件矛盾: ．．．．（2）与已有公理、定理、定义矛盾； ．．．．．．．．．．（3）自相矛盾． ．．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 ．．．?nn?N(1)证明：当n取第一个值??时命题成立； 00．．．．(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. ．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数．．．．
集C??a?bi|a,b?R?叫做复数集。 规定：a?bi?c?di?a=c且， ．．．．b=d．．．强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
?实数 (b?0)?31．数集的关系：复数Z???一般虚数(a?0)
虚数 (b?0)????纯虚数(a?0)?
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z?a?bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。
由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数z?a?bi的模(也叫绝对值)记作z或a?bi。由模的定义可知：z?a?bi?a2?b2
35.复数的加、减法运算及几何意义
①复数的加、减法法则：z1?a?bi与z2?c?di，则z1?z2?a?c?(b?d)i。 注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。 ．．②复数的乘法法则：(a?bi)(c?di)??ac?bd???ad?bc?i。 ③复数的除法法则：
a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad??2?2i其中c?di叫做实数化因子 22c?di(c?di)(c?di)c?dc?d36.共轭复数:两复数a?bi与a?bi互为共轭复数，当b?0时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;2(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a2?b2;(4)z?z;(5)z?z?z?R
(6)i4n?1?i,i24n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1;
2(7)?1?i?1?i1?i?1?i???i;(8)?i,??i,???i ?1?i1?i?2?(9)设??
?1?3i2是1的立方虚根，则1?????0，?3n?1??,?3n?2??,?3n?3?1 2
高中数学选修2-2知识点总结（精华版）(1)
