2024年成人高考12月份期末考试各科考试资料
《抽象代数》 复习资料1
一、判断对错，正确的填√，错误的填?．
1、拉格朗日定理的逆命题是正确的. （ ） 2、有限整环一定是域. ( )
3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。. ( )
二、填空
１、设G为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。则满足消去律为G是群的
______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）．
k2、在群中设orda=n，则对任意k?Z, ord a_______________．
三、叙述概念 1、代数运算 2、环的特征
3、含幺环上未定元的定义 四、计算和证明
1、叙述并证明群同态基本定理． 2、求Z10到Z5的所有环同态。
3、证明：对群中的任意两个元素a,b均有o(ab)=o(ba)。
参考答案
一、判断对错，正确的填√，错误的填′
1、′2、√3、√′ 二、填空 1、充要条件；2、
n； (n,k)三、叙述定义或定理
1、代数运算 ：给定非空集合A，集合A′A到A的映射称为集合A的一个代数运算 。（给定非空集合A，给定A的一个规则o，如果对A中任意的两个元素都有A中唯一的元素与之对应,则称o为A的一个代数运。
2、环的特征：设R是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的a?R，有na=0，则称环R的特征是n,若不存在这样的n则称R的特征是无穷。
3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素x，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。
四、1、设?是群G到群G的一个同态满射．则N?Ker?是G的正规子群，且GN?G． 证明：由于G的单位元是G的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N?Ker?也是G祝君早日毕业
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的一个正规子群．
设?:a?a(a?G,a?G)，则在GN与G之间建立以下映射?:aN?a??(a)． （1）证明?是映射．设aN?bN(a,b?G)，则a?1b?N．于是a?1b?a?1b?e,a?b，即GN中每个陪集在?之下在G中只有一个象．从而?确为GN到G的一个映射． （2）证明?是满射．任取a?G，由?是满射知，有a?G使得?(a)?a．从而在?之下，
a在GN中有逆象aN．
（3）证明?是单射．若aN?bN，则a?1b?N，从而ab?e,a?b．因此，?是GN?1?ab?到G的一个双射．又由于有(aN)(bN)?abNGN?G．
ab，故?为同构映射．从而
2、找出模10的剩余类环Z10到剩余类环Z5的所有环同态。因为环同态一定是加群同态，而且为循环群之间的同态，从而由Z10中生成元的象决定，而Z5共有3个元素，均可充当前者生成元的象。 五个加群同态如下：
f1:Z10f3:Z10f5:Z10Z5 [1]Z5 [1]Z5 [1]0,或[n]2,或[n]4,或[n]0;f2:Z102n. f4:Z104nZ5 [1]Z5 [1]101,或[n]3,或[n]n; 3n不难证明只有前两个同态保持乘法运算，从而环同态只有
f1:Z15f2:Z15Z3 [1]Z3 [1]0,或[n]1,或[n]0;n.
3、证明：分两种情况证明
第一种情况：o(ab)=o(ba)。o(ab)=n
n(ba)n=e,o(ba)?n?,下设o(ba)m，同理可证m?n；-----6分
第二种情况：o(ab)=?;下证o(ba)=?;假设o(ba)=n
o(ab)
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《抽象代数》 复习资料2
一、 叙述概念及定理 1. 正规子群.
2. 环的扩张（挖补）定理. 3. 理想. 4. 素域. 5. 唯一分解整环. 二、计算与证明
1. 在Z[x]中,令I?f(x)?Z(x)|f(0)是偶数. 证明: (1)I??x,2?且I不是主理想 (2)I为Z[x]的极大理想.
2.设G是交换环. 证明: G的所有阶数有限的元素构成的集合H是G的正规子群, 且商群
??GH的元素除了单位元外, 其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.
????a2b??a,b?数域F3.证明: (1)集合R????关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位?ba??????元的交换环.又问:单位群R*??
(2) 当F是有理数域时,R还作成域,但是当F是实数域时,R不作成域.
参考答案
一、 叙述概念及定理
1. 设H是群G的子群，如果对任意的a?G，有aH?Ha，则称H是G的正规子群. 2. 环的扩张（挖补）定理:
设S与R是两个没有公共元素的环,
?是环S到R的单同态, 则存在一个与环R同构
S的环S及由S到R的同构映射?, 使得S是S子环且?3. 理想:
设R是环, I是R的非空子集. 如果I满足
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??.
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(1) 对任意的s,t?I,s?t?I;
(2) 对任意的s?I,r?R,sr,rs?I, 则称I是R的一个理想. 4. 素域. 没有真子域的域.
5. 唯一分解整环: 每个非零非单位的元素都有唯一分解的整环. 二、计算与证明
1. 在Z[x]中,令I?f(x)?Z(x)|f(0)是偶数. 证明: (1)I??x,2?且I不是主理想; (2)I为Z[x]的极大理想.
证明: (1) ?f(x)??x,2?,有f(x)?g(x)x?2z,g(x)?Z[x],z?Z,则f(0)?2z为偶
数(3分)
nn?1 另一方面,设f(x)?a0x?a1x???,从而
?x,2??I?f(?是偶数x)? ?Z(x)?an?1x?an?Z[x],若f(0)?an为偶数,则
得
:
存在z?Z 使
an?f(0)?2z,从而
f(x)?x(a0xn?1?a1xn?2?所以I??x,2?. 下证x,2不是主理想.
?an?1)?an??x,2?.
首先, x,2?{f(x)x?g(x)2f,g?Z[x]}?{f(x)x?2zf?Z[x],z?Z}, 所以x,2?Z[x]. 其次, 假设存在d(x)?Z[x], 使得d(x)?x,2, 则在Z[x]中, 有d(x)x且d(x)2,
由此得d(x)??1. 从而x,2??1?Z[x]矛盾. 因此x,2不是主理想. (2) 显然I为Z[x]的真理想,设I?J祝君早日毕业
Z[x],在J中任意取一个不属于I的元素
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f(x)?a0xn?a1xn?1??an?1x?an,
则an不是偶数,设an?2z?1,
n?1n?2于是1?an?2z?f(x)?x(a0x?a1x??an?1)?2z?J
从而J?Z[x], 所以I为Z[x]的极大理想.
2.设G是交换环. 证明: G的所有阶数有限的元素构成的集合H是G的正规子群, 且商群
GH的元素除了单位元外, 其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.
m证明: 显然H非空. 设?x,y?H, 则?m,n?N, 使得x (x) (xy)?1?yn?e, 则
?1m?(xm)?1?e, ?xmnymn?e.
mn 从而x,xy?H, 所以H是G的子群. 又因为G是交换群, 所以H是G的正规子群. 设?x?GHr, 如果?r?N, 使得x?x?e, 则xr?H.
r从而?t?N, 使得(x)?x由此知x?e为Grtrt?e, 从而x?H.
H的单位元.
??a2b????3. 证明: (1)集合R????a,b?数域F?关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位
??ba????元的交换环.
(2) 当F是有理数域时,R还作成域,但是当F是实数域时,R不作成域. 证明: (1)数域F上的所有2阶方阵在矩阵的普通加法与乘法下作成一个有单位元的环
?a2b??cF2?2,从而我们只需证明R是F2?2的子环,任意的??,??ba??d从而
2d???R,由于F是数域,c?祝君早日毕业
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a?a2b??c2d??????????badcb??????
?c2?a2b??c2d??a??????badcd?????a??10?又E2????R,并且
01???a2b??c???ba???d2d??ac?2bd???c??ad?bcc2(?b?)d??Rd?a?cbd2(?adbc?a2cbc?)??R?bd,从而R是一个环,
2(ad?bc)??c???ac?2bd??d2d??a2b????, c??ba?从而R是一个有单位元的交换环. (2) 当F是有理数域时,若
a2bba?a2?2b2?0,则a?b?0,从而当a,b不全为0时,
?a2b???的行列式不为0,从而可逆,即当F是有理数域时, R中的每一个非零元素都可逆,?ba?从而R是域.
但当F是实数域时, 对于任意的实数b,因此当F是实数域时,R不作成域.
2bb2b2b?0,从而不是所有的非零元都可逆,
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《抽象代数》 复习资料3
一、叙述概念或命题
1．不变子群； 二、填空题
1．设有限域F的阶为81，则的特征p? 。
2．已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于 。 三、设G是群。证明：如果对任意的x?G，有x2?e，则G是交换群。 四、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 五、设H?{a?bi?cj?dk|a,b,c,d?R}是四元数体，对H中任意元
x?a?bi?cj?dk，
定义其共轭
x?a?bi?cj?dk。
1．证明：xx?xx是一个非负实数；
2．对x?1?2i?j?2k，y?2?i?2j?k，求xy，yx和x?1。
六、设I1?(6)，I2?(15)是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．I1?I2； 2．I1?I2； 3．I1?I2
参考答案
一、
1．若H是群G的子群，且对每个a?G，有aH?Ha，那么H称为是G的正规子 二、
1．3
2．25 三、证明：对于G中任意元x，y，由于(xy)2?e，
所以xy?(xy)?1?y?1x?1?yx（对每个x，从x2?e可得x?x?1）
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四、证明：设A是任意方阵，令B?11(A?A?)，C?(A?A?)，则B是对称矩22阵，而C是反对称矩阵，且A?B?C若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一 五、1．xx?xx?a2?b2?c2?d2?0
2．xy??4?2i?4j?8k，yx??4?8i?4j?2k，六、1．I1?I2?(3)；
2．I1?I2?(30)； 3．I1?I2?(90)
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x?1?110(1?2i?i?2k)
2024级专升本数学与应用数学专业专升本复习资料12月份考试资料抽象代数复习资料
