导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围

求参数取值范围的方法

1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数

f?x??ex-axf?x?（a?R，e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若a?1，函数实数m的取值范围．

g?x???x?m?f?x??ex?x2?x在?2,???上为增函数，求

解：（Ⅰ）函数当a?0时，

f?x?的定义域为R，

，∴

f??x??ex?a．

f??x??0f?x?在R上为增函数；

当a?0时，由当当

f??x??0得x?lna，

，∴函数，∴函数

x????,lna?时，时，

f??x??0f?x?在?在???,lna?上为减函数， 上为增函数……4分

x??lna,???f??x??0f?x?lna,???（Ⅱ）当a?1时，

∵

g?x???x?m??ex?x??ex?x2?x，

g?x?2,???g??x??xex?mex?m?1?0?2,????在上为增函数；∴在上恒成

xex?1m?xe?1在?2,???上恒成立， …………………………6立，即

分

h??x??xex?1h?x??xe?1，x??2,???，则令

?ex??xex?2ex2?ex?1?2?ex?ex?x?2??ex?1?2，

2

令即

L?x??ex?x?2，

L??x??ex?1?0在?2,???上恒成立，

L?x??ex?x?22,???L?x??L?2??e2?4?0?在上为增函数，即，

xex?12e2?1h?x??xh?x??h?2??2h??x??02,????e?1在e?1， ∴，即上为增函数，∴

2?2e?1?2e?1??,??m?22e?1?． ………………12分 e?1，所以实数m的取值范围是?∴

2

2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)， 1

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋x－3，f′(1)＝－2.

故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0. a?x－1?

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－＞0.

x＋1a?x－1?

设g(x)＝ln x－，

x＋1

x2＋2?1－a?x＋112a

则g′(x)＝x－＝，g(1)＝0.

?x＋1?2x?x＋1?2

3

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－

?a－1?2－1，x2＝a－1＋

?a－1?2－1.

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. 解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点． ②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b

则f(b)>a2(b－2)＋a(b－1)2＝a???b2－32b???>0， 故f(x)存在两个零点．

③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． 若a≥－e

2

，则ln(－2a)≤1，

4

故当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． e

若a<－，则ln(－2a)>1，

2

故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0； 当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.

因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a的取值范围为(0，＋∞)．

(2)证明：不妨设x1

所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0. 由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2， 而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0， 所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2. 设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex， 则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．

所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，

5