2018全国高中数学联赛一试模拟题1
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一、填空题（本大题共10题，每题8分，共80分）
1.若对任意的x?[a,a?2]，均有x?a?2x，则实数a的最大值为 2.已知自然数k?1，k个连续自然数的和为2016，则k可取值的个数为 ?1?x?1?y?x?13.若点P(a,b)满足?2，记函数f(?)?asin??bcos??c （c为任意实数）
??y??x?1的最大值M(a,b,c)，则M(a,b,c)的最小值为
????1?的值是 4.用[x]表示不超过实数x的最大整数，则?12?sin??2018???5．将边长为3，6，7的三角形沿三条中位线折起来围成四面体，则四面体外接球的体积为
6．已知抛物线y2?4x，P为x负半轴上一点，PA为抛物线的切线，A为切点，过A作AB垂直于PA，交抛物线于点B。则当OB（O为坐标原点）最小值时，点P的横坐标为
7．已知向量a,b,c,d,e满足a?b?3c?a?b?2，c?a?0, 3d?e的最大值是 ,
(d?a)(d?b)?0(e?a)(e?c)?0，则
8．已知正实数x,y(x?y) 满足xy?490，且(lgx?lg7)(lgy?lg7)??进制表示下x 的整数部分有 位。
9．设集合?a1,a2,143 ，则在十4,a5??ai?R,i?1,2,,5?。若组成A中的所有四元子集的四个元素之
积组成的集合为B=?2,3,4,6,9?，则集合A中的元素之和为
20163231i10．设函数f(x)?x?x?x?，则?f()的值为
2482017i?13二、解答题（本大题共5题，共120分）
11．（满分20分）问：能否找到两个实数，使得这两个数之和的常用对数是它们的常用对数的乘积，而两数之差的常用对数是它们的常用对数的商？请说明理由.
12.（满分20分）已知圆C1:x2?y2?4，抛物线C2:y2?4x，过抛物线C2上一点P（异于原点）作切线l，与圆C1交于A、B两点.（1）求切线l在x轴上截距的取值范围； （2）求△AOB面积S的最大值.
13.(满分20分）已知正数数列
所有正整数n，均有an?an?1?
满足a1?12，an?1?2(an?an)(n?N*)。（I）求证：对211111；（II）若a1?，求证：????2(n?1) 23a1a2an14.
(满分30分）二次函数y?f(x)的二次项系数为1，并且一次项系数和常数项都是整数，若f(f(x)?0有四个不同的实数根，并且可以按照一定的顺序排列成等差数列。试求
f(x)，使其系数的和最小。
15.(满分30分）已知a,b,c,d?R?，求证：
cdab(8b?c)?(8c?d)?(8d?a)?(8a?b)?9(a?b?c?d) abcd
2018全国高中数学联赛一试模拟题1
