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阶段质量检测（二） 平面向量
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( ) A．5 C.17
B.13 D．13
解析：选B 因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝32＋22＝13，故选B. 2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
解析：选B 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
uuuruuuruuur3．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且AD＝2AB－3BC，则点D的坐标为( )
A．(2,16) C．(4,16)
B．(－2，－16) D．(2,0)
uuuruuuruuur解析：选A 设D(x，y)，由题意可知AD＝(x＋1，y－2)，AB＝(3,1)，BC＝
(1，－4)，
uuuruuur∴2AB－3BC＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．
???x＋1＝3，?x＝2，?∴∴?故选A. ?y－2＝14，???y＝16.
4．某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )
A．90 ° C．45°
B．30° D．60°
uuuruuur解析： 选D 如图，用OA表示水速，OB表示某人垂直游向对岸的速度，
则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.
uuuruuur|AC||OB||v静|r＝uuur＝＝3， 于是tan∠AOC＝uuu|OA ||OA ||v水|
∴∠AOC＝60°，故选D.
uuur5．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DCrruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuuruuuruuu＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC
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( )
A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
ruuuruuuruuuruuuruuuuuuruuuruuuruuur解析：选A ∵AD＋BE＋CF＝(AB＋BD)＋(BA＋AE)＋(CB＋BF)
uuur1uuurr1uuur1uuu?＝BC＋AC＋?CB＋3 BA ?? 33
r1uuuruuurrr1uuu1uuu1uuu＝BA＋BC＋AC＋CB＝－BC， 3333ruuuruuuruuuruuu∴(AD＋BE＋CF)与BC平行且方向相反．
6．设a，b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：选C 若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．
43
－，?，点O(0,0)和A(1，－2)在l上7．已知平面上直线l与e所在直线平行且e＝??55?
uuuur的射影分别是O′和A′，则O?A?＝λe，其中λ等于( )
1111A. B．－ 55C．2 D．－2
uuuuruuuruuur解析：选D 由题意可知|O?A?|＝|OA|cos(π－θ)(θ为OA与e的夹角)．
uuur∵O(0,0)，A(1，－2)，∴OA＝(1，－2)．
uuuruuuruuur43?4?3??∵e＝?－5，5?，∴OA·e＝1×?－5?＋(－2)×＝－2＝|OA|·|e|·cos θ，∴|OA|·cos θ
5
＝－2.
uuuur又∵|O?A?|＝|λ|·|e|，∴λ＝±2.
又由已知可得λ<0，∴λ＝－2，故选D. 8．在△ABC中，有下列四个命题：
ruuuruuuruuu①AB－AC＝BC；
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ruuuruuuruuu②AB＋BC＋CA＝0；
ruuuruuuruuuruuu③若(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；
uuuruuur④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( ) A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
ruuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuuuuruuuAB＋BC＋CA＝AC解析：选C ∵AB－AC＝CB＝－BC≠BC，∴①错误．
ruuuuruuuuuuuruuuruuurruuuruuuruuuruuu22＋CA＝AC－AC＝0，∴②正确．由(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB－AC＝0，得
uuuruuuruuuuuuruuuuuurrr|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形，③正确．AC·AB>0?cos〈AC，AB〉>0，
即cos A>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确★答案★填在题中横线上)
9．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________. 解析：|5a－b|＝|5a－b|2＝?5a－b?2 ＝25a2＋b2－10a·b ＝ ＝7. ★答案★：7
1－? 25＋9－10×1×3×??2?
uuuuruuuruuuuuuurruuuuuuurruuur10．在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，
则x＝________，y＝________.
uuuurruuuuruuuur2uuu解析：∵AM＝2MC，∴AM＝AC.
3rruuuruuuuuur1uuuruuu∵BN＝NC，∴AN＝(AB＋AC)，
2
r2uuuruuuuruuuruuuruuuur1uuuruuu∴MN＝ANAN－AM＝(AB＋AC)－AC
23rr1uuu1uuu＝AB－AC. 26
uuuruuuuruuur又MN＝xAB＋yAC，
11∴x＝，y＝－.
2611★答案★： －
26
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11．已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则|c|＝________，|a－2b＋3c|＝________.
解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，|c|＝2.所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝?－2?2＋?－5?2＝29.
★答案★：2
29
12．若向量a与b满足|a|＝2，|b|＝2，(a－b)⊥a.则向量a与b的夹角等于________，|a＋b|＝________.
a·b解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝0，所以a·b＝2，所以cos〈a，b〉＝|a||b|＝
22π
＝，所以〈a，b〉＝.因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2×2＋4＝10，所以|a＋b|
42×22
＝10.
π
★答案★： 4
10
13．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝
3
，则向量f(e1，e2)的模为________，向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________． 2
3
，且e1，e2均为单位向量，∴向量e1与e2的夹角为30°， 2
31
e1－e2， 22
解析：∵e1·e2＝
∴f(e1，e2)＝e1cos 30°－e2sin 30°＝∴|f(e1，e2)|＝ ＝
?3e－1e?2
?2122?
32311e1－e1·e2＋e22＝. 4242
∵向量e1与e2的夹角为30°，∴向量e2与－e1的夹角为150°， 13
∴f(e2，－e1)＝e2cos 150°＋e1sin 150°＝e1－e2，
22∴f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝
32?3e－1e?·?1e－3e?＝3e2－e·
e＝0， 11e2＋1212
422??22?4?2
π
故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为. 21π
★答案★： 22
ruuurruuuruuuuuuruuuruuuruuu14．已知向量AB与AC的夹角为120 °，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，
ruuuruuu且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
uuuruuuruuurrruuurruuuruuuuuuruuuuuuruuuBC＝0，解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，所以AP·即(λAB＋AC)·(ACruize
uuurruuuruuuruuuruuu122－?＝0，解得λ－AB)＝－λAB＋AC＋(λ－1)·AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×??2?
7
＝. 12
7
★答案★：
12
15.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，
uuuruuuruuurP是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ＝λDC，CP＝
uuuruuuruuur(1－λ)CB，则AP·AQ的取值范围是________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)．设
uuuruuurQ(m，n)，由DQ＝λDC得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即m＝λ，n＝1.又
uuuruuurB(2,0)，设P(s，t)，由CP＝(1－λ)CB得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，
uuuruuuuuuruuurr2
－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以AP·AQ＝λ(2－λ)＋λ＝－λ＋3λ，λ∈[0,1]．故AP·AQ∈
[0,2]．
★答案★：[0,2]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
uuuruuuruuur16．(本小题满分14分)平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点M为
直线OP上的一动点．
uuuuruuuuruuuur(1)当MA·MB取最小值时，求OM的坐标；
(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．
uuuur解：(1)设OM＝(x，y)，∵点M在直线OP上，
uuuuruuuruuur∴向量OM与OP共线，又OP＝(2,1)．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
uuuurruuuuuuuruuuuruuuruuuur∴OM＝(2y，y)．又MAMA＝OA－OM，OA＝(1,7)， uuuur∴MA＝(1－2y,7－y)．
ruuuuruuuruuuu同理MB＝OB－OM＝(5－2y,1－y)．
uuuuruuuurMB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12. 于是MA·
uuuuruuuuruuuur20
MB有最小值－8，此时OM＝(4,2)． 可知当y＝＝2时，MA·
2×5
uuuur(2)当OM＝(4,2)，即y＝2时， uuuuruuuur有MA＝(－3,5)，MB＝(1，－1)，
高中数学：阶段质量检测(二) 平面向量
