高等数学期末模拟试卷 2009,12,26
一．填空题(本题20分) 1．limx?0x?_______.
1?sinx?cosx2． 设y?(x2?1)ex,则y(10)?_______.
3．tanx?1dx=_________________.
?2x?1de?xx4. 若，则f(x)? _______. f(t)dt?edx?05. 设f(3x?1)?xe，则
x2?10f(t)dt? ________________________.
二．单项选择题(本题20分) 1．设f(x?1)?lim(n??n?xn)，则f(x)? ( ) 。 n?2x?2A．ex?1； B．e； C．ex?1； D．e?x。
2. 当x???时，f(x)?。 x2?4x?5?(ax?b)为无穷小，则（ ）
A．a??1,b?2； B．a??1,b??2； C．a?1,b?2； D．a?1,b??2。
3. 若f(x)在x?a处不可导,则下列函数中在x?a处必不可导的是( ).
2(A) sinx?f(x) (B) sinx?f(x) (C) f(x) (D)
1 f(x)4. 若曲线y?x?ax?b与2y??1?xy在点(1,?1)处相切，则（ ）。 A．a??1,b??1； B. a?1,b??3； C. a??3,b?1； D. a?0,b?2。
5．已知f(x)?x?ax?bx在x?1处取极小值?2，则（ ）。 A．a?1,b?2； B. a?0,b??3； C. a?2,b?2； D. a?1,b?1。 三．（本题12分）求下列极限
可靠性与系统工程学院学生会整理
3223
1．lim[x?011?]. ?x2xx(e?1)x212． lim?x?1(1?t)sint2dt(1?x)2.
四．（本题21分）求导数与积分
?x?f(t)?2d2ydy1．设?，且f(x)二阶可导，f'(0)?0，求， 2tdxt?0dxt?0?y?f(e?1)2．设exy?tan(xy)?y，则y'(0)，y\(0)
x2123．设f(x)连续，且?tf(2x?t)dt?arctan(x)，若f(1)?1，求?f(x)dx
102
五．（本题7分）几何题 求由曲线y?x上点(1,1)处法线与该曲线及x轴所围平面图形的面积。
六．（本题6分）应用题
求由xy?a，y?a（a?0），x?3所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积
1七．（本题8分）设函数单增区间 单减区间 凸区间 凹区间 极大值 极小值 渐近线
y?xex2, 填写下表并作出函数的图像.
y
O x
2n八．（6分）设fn(x)?x?x???x，(n?1)，证明：
（1）方程fn(x)?1在[0,??]内有唯一实根xn； （2）数列{xn}有极限，并求该极限。
可靠性与系统工程学院学生会整理
高等数学期末模拟试卷（解答） 2009,12,26
一．填空题(本题20分)
11. 2 2. e(x?20x?89) 3. ?lnsinx?1?C 4. ?2 5. 2(t?7)exx2t?16?C
二．单项选择题(本题20分) 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 三．（本题12分）求下列极限 1．lim[x?011?]. 2xx(e?x?1)11e?x?1?x??解：lim[ ?]?lim?lim?lim??x?x?x?xx?02xx?0x?0x?0x(e?1)2x(e?1)2x(e?1)2(e?1)42． lim?x?1x21(1?t)sint2dt(1?x)2.
解：lim?x21(1?t)sint2dt(1?x)2x?12x(1?x2)sinx42x(1?x2)sinx4?lim?lim??2sin1 x?1x?1?2(1?x)?2四．（本题21分）求导数与积分
?x?f(t)?2d2ydy1．设?，且f(x)二阶可导，f'(0)?0，求， 2tdxdxt?0?y?f(e?1)t?0dyy'tf'(et?1)etdy?1； 解：，??dxt?0dxx'tf'(t)ttttd2ydf'(et?1)etdttf'(e?1)f'(t)?ef\(e?1)f'(t)?f'(e?1)f\(t)?[]?e 23dxdtf'(t)dxf'(t)d2y1?
dx2t?0f'(0)2．设exy?tan(xy)?y，则y'(0)，y\(0)
解：令，x?0，有y?1，
求导：e(y?xy')?sec(xy)(y?xy')?y'。所以，y'(0)?2
xy2再求导：
exy(y?xy')2?exy(2y'?xy\)?2sec2(xy)tan(xy)(y?xy')2?sec2(xy)(2y'?xy\)?y\
可靠性与系统工程学院学生会整理
把x?0,y?1,y'?2代入有，y\(0)?9 3．设f(x)满足f(x)?3x?1?x解：令
2?10f2(x)dx，求f(x)
?10f2(x)dx?A，则f(x)?3x?A1?x2
所以，f2(x)?9x2?6Ax1?x2?A2(1?x2)，再积分
A?3?2A?223A，所以，A?或A?3 32x上点(1,1)处法线与该曲线及x轴所围平面图形的面积。
x?1五．（本题7分） 求由曲线y?解：点(1,1)处切线斜率k?(x)'?1，法线斜率：k'??2 2法线方程：y?1??2(x?1)，即，y??2x?3 面积：A?31112。 (?y?y)dy??022121六．（本题6分）
求由xy?a，y?a（a?0），x?3所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 解：交点：(1,a)
5?a?V?V1?V2???adx???ydx??a?????dx??a2
0113?x?12322321x七．（本题8分）设函数y?xe2, 填写下表并作出函数的图像.
单增区间 单减区间 凸区间 凹区间 极大值 极小值 渐近线 (??,?0)?(0,??) 无 y
(?1,0)?(1,??) (??,?1)?(0,1) 无 无 O x
y?x 可靠性与系统工程学院学生会整理
解：定义域：x?0 ，奇函数
x2?2?x2y'?e,x212(1?x2)?x2y\?ex51y'?0,1y\?0?x??1，
limy?0,x?0?2ya?lim?1,b?lim[y?ax]?lim[x(ex?1)]?0
x??xx??x??斜渐近线： y?x 列表
x (-?-1) -1 (-1,0) 0 y' + y″ + y + + - 拐 点 (0,1) 1 (1,?) + + + + - 拐 点 无 意义 2n八．（6分）设fn(x)?x?x???x，(n?1)，证明：
（1）方程fn(x)?1在[0,??]内有唯一实根xn； （2）数列{xn}有极限，并求该极限。
解：（1）F(x)?fn(x)?1，则F(0)??1?0，F(1)?n?1?0
F(x)在[0,1]内有零点xn，而F'(x)?1?2x???nxn?1?0，x?(1,??)，
所以，F(x)在在[0,??]内有唯一零点xn；即，方程fn(x)?1在[0,??]内有唯一实根xn。 （2）显然，0?xn?1，{xn}有界。
nn?1n?1?xn???xn?xn?1???xn?1?xn?1???xn?1，?xn?xn?1
所以数列{xn}有极限。
设limxn?A，则，A?xn?x2?n??nn5?1?1 2n1?xn由1?xn???x，所以，1?xn
1?xn取极限1?A
11，所以，A? 1?A2 可靠性与系统工程学院学生会整理
高等数学：2009期末考试试题
