2024年高考数学总复习：椭圆
x2y2
1．若椭圆＋2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
16bA．25 C．45 答案 D
解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有选D.
x2y23
2．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于
ab5A，B两点，则△ABF2的周长为( ) A．10 C．16 答案 D
解析 如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又 c33
e＝＝，即c＝a， a5516
∴a2－c2＝a2＝b2＝16.
25∴a＝5，△ABF2的周长为20.
1
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方3程为( ) x2y2
A.＋＝1 144128x2y2
C.＋＝1 3236答案 D
c1
解析 ∵2a＝12，＝，∴a＝6，c＝2，b2＝32.
a3x2y2
∴椭圆的方程为＋＝1.
3632
x2y24
4．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
94＋k5A．－21
B．21 x2y2
B.＋＝1 3620x2y2
D.＋＝1 3632B．12 D．20
43
＋2＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝23，2c＝43.故16b
B．23 D．43
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19
C．－或21
25答案 C
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k. 5－k4c419
由＝，即＝，得k＝－； a53525若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5. k－54c4
由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5
19
D.或21 25
5．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为( ) 1A. 4C．2 答案 A
y2
解析 将原方程变形为x＋＝1.
1m
2
1B. 2D．4
1
由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝m∴
11＝2，∴m＝. m4
1，b＝1. m
x2y2
6．如图，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满
ab足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
xy
A.＋＝1 255x2y2
C.＋＝1 3610答案 B
22
xy2
B.＋＝1 3616
2
x2y2
D.＋＝1 4525
解析 设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示． 由F(－25，0)，得c＝25. 由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF. 在Rt△PFF1中，由勾股定理，得 |PF1|＝|F1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.
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由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1.
3616
x2y21
7．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
2m2A.3 8
C. 3答案 B
解析 ∵a2＝2，b2＝m，∴c2＝2－m. c22－m13∵e＝2＝＝.∴m＝. a242
2
3
B. 22D. 3
x2y2
8．(2024·郑州市高三预测)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的
ab直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.2 2
B．2－3 D.6－3
C.5－2 答案 D
解析 设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2c
＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即有c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝＝6－3，
a故选D.
2x2y2
9．(2024·贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆2＋2＝1(a>b>0)交于不
2ab同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A.C.3
32 2
1B. 21D. 3
答案 C
x2y2
解析 由题意知，直线l与椭圆2＋2＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c，c，所以两个交
ab
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22c2c2
点分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆得2＋2＝1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2＋a2)
22a2bc21
＝2ab.因为b＝a－c，所以c(3a－2c)＝2a－2ac，所以2＝2或.又因为0 a2 22 2 2 2 2 2 2 4 22 c2 e＝＝，故应选C. a2 x2y23 10．(2024·湖北孝感第一次统考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，四个顶点 ab2构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为( ) A．4 C．8 答案 C c3 ＝，??a2??a＝2， 解析 由?解得?周长为4a＝8. 2ab＝4，?b＝1.???c＝a－b， 2 2 2 B．43 D．83 x2y2 11．(2024·黑龙江大庆一模)已知直线l：y＝kx与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)交于A，B两点， ab其中右焦点F的坐标为(c，0) ，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( ) A．[C．( 2 ，1) 22 ，1) 2 B．(0，D．(0， 2] 22) 2 答案 C 解析 由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，12 由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>a2，可得 22 12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． x2y2 答案 ＋＝1 168 x2y2 解析 根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)． ab∵e＝ 2c2 ，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方2a2 2 .2 x2y2 程为＋＝1. 168 2024年高考数学总复习：椭圆 第 4 页 共 10 页 x2y2 13．(2024·上海市十三校联考)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实 10－aa－2数a＝________． 答案 4或8 解析 ①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8. x2y2 14．(2024·山西协作体联考)若椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组 ab成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________． 4答案 3 2 22y解析 由已知得，a＝1，b＝c＝，所以椭圆C的方程为x＋＝1，设A(x0，y0)是椭圆C21 2 1 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x02＋2y02＝3x02，解得x02＝，34 所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x02＝. 3 x2y2 15．已知F1、F2为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴， ab且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________． 答案 3 3 2343 c，|MF2|＝c. 33 解析 方法一：∵|F1F2|＝2c，MF1⊥x轴，∴|MF1|＝2c3 ∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝23c.∴e＝＝. 2a3 x2y2b2|F1F2|2c 方法二：由F1(－c，0)，将x＝－c代入2＋2＝1，得y＝，∵＝3，∴2＝3. aba|MF1|b a2ac2e ∵b2＝a2－c2，∴22＝3，即＝3. a－c1－e2解得e＝－3(舍)，e＝3 . 3 16．(2024·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________． 答案 43 解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭2圆的短半轴长为2，长半轴长为＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦 cos60° 2024年高考数学总复习：椭圆 第 5 页 共 10 页
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