又
QAC??，BD??，AC?BD=?O?，
M? MO??
DOABC
习题34.一点到平面上两点的连线长是51CM和30CM这两线在平面上射影比为5：2求这点到平面的距离
已知：设M为平面?外一点，A、B为?内两点. MA=51CM，MB=30CM，MO ?平面?, 垂足为O.且AO=BO=5：2，求MO 解：
Q MO ? ?，? MO ? AO，MO ? BO
由AO：BO=5：2，可设AO=5k，BO=2k，设MO=h。 在RtVMAO与RtVMBO中，由勾股定理，得
222222???MA?MO?AO?51?h?(5k)，即?2 ?22222???MB?MO?BO?30?h?(2k)?k=3，h=126，即MO=126CM MOBAa
习题35.A为平面?上一点.B为?外一点.设H为B在?上的射影且3AB=4BH.通过直线AB有一平面?与平面?成30角.求平面?、?的交线和AB的交角. 解：如图设?I?=AC。在?内且过H作HC?AC。 垂足为C。QBH??。由三垂线定理得
oBC?AC。故?BCH即为平面?与?的交角的平面角
??BCH=30o?BC=2BH
在RtVABC中，BC?AC。BC=2BH，AB= 4 BH 3?sin?BCH=
3BC2BH== AB4BH23??BAC=60o
即所求平面?、?的交线和AB所成角为60
oaBbCHA
习题36.证明：空间四边形（假设每一内角小于二直角）四角之和小于四直角. 已知：在空间四边形ABCD中. 求证：?A+?B+?C+?D?4d
证明：在VABD所在平面内作VBC?D?VBCD，如图 设AC?与BD交于点M，连结MC，则MC?=MC 在VAMC，有MA+MC?AC，即AC??AC
在VABC与VABC?中，由AB=AB，BC=BC?，AC??AC Q?ABC???ABC 又?CBD=?C?BD
即?ABD+?C?BD=?ADB+?CDB??ABC ① 同理可证?ADC??ADB+?CDB ② 又在VABD与VBCD中
?A+?ABD+?ADB=180o，?BCD+?C+?BCD=180o
??A+?ABD+?CBD+?C+?ADB+?CDB=360③
oo由①②③得?A+?B+?C+?D?360
ABMCcD
习题37.证明：多面体中，发出奇数条棱的定点数必为偶数.
证：设在多面体中.有E条边（棱）.V个顶点.其中发出奇数条棱的顶点有m个.不妨设为前m个.设第1.2L.m个顶点分别发出u1.u2Lum条棱.则有
?u+?uii?1i?m?1mvi=2E
即
?ui?1mi=2E-
i?m?1?uvi
上式右端两项均为偶数，即右边为偶数，故左端也是偶数
?m为偶数
若不然，若m为奇数，则
?ui?1mi是奇数个奇数之和，必为奇数，矛盾。
习题38.一凸多面体的棱数为30，面数为12，求它的各面角之和。 解：由欧拉公式V+F-E=2，得V=2+E-F=2+30-12=20 所以它的各面角之和为 4（V-2）d=4（20-2）d=76d
西南大学网络与继续教育《中学几何研究》作业及答案
