( 假设: 平行四边形ABCD底边BC的中点O ,AB边长为a,P为对角线AB,BD的交
点,BC为固定.)
求证:点P的轨迹是?O(
a) 2证明: 10 若P是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,连接OP,由P,O分别是BD,BC的中点,故
1aCD=. 22a故P??O(), (完备性得证)
2a20.社P为?O()上任意一点,连接OP,分别过B,C
2OP=
作OP的平行线l1,l2.连接CP并延长交l1于A,连接BP并延长交l2于D,连接AD 则OP是?CAB和?BCD的中位线,于是AB=a,OD=a.且AD//CD, 从而P点是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点 (纯粹性得证)
?点P的轨迹是?O(a).
2
习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。
假设AB与CD是⊙O（r）中两条互相垂直的弦，且AB⊥CD于P,AB2?CD2?a(常数),求点P的轨迹.
证明:点P关于O的对称点也满足条件,故该轨迹为以O为圆心,以OP为半径的圆。 如图所示：连AO延长交⊙O于E,连AC、DB、CE， 则∠1+∠2=90°∴∠2+∠3=90°, 从而∠1=∠
C23APONM1B?3?DE??CE? ?,DE??EB??CB??EB??DB?CB过
2E?BD?CE?AC2?CE2?(2r)2?AC2?BD2?4r2点P作MN⊥OP有MP=NP
D?AB2?CD2?(AP?BP)?(CP?PD)2
?AP2?PB2?2AP?BP?CP2?PD2?2CP?PD
=(AP2?CP2)?(PB2?22PD)?4MP?AC2?BD2?4MP2
?4r2?4MP2?a?MP2?2222OP?r?MP?2r?a?r2? 4a 1 2?OP??a8r42所求轨迹可能是以O为圆心
128r2?a为半径的圆珠笔。
习题20.将已知点到定圆上各点连线，求连线的中点E的轨迹。
假设点C为定点P到定圆⊙O(r)上各成连线的中点,求C点的轨迹. 探求：连接PO交⊙O于B易见轨迹关于直EP线PO对称 C设PA、PB中点分别为C、D，作切线PT、PT1，中点分别为E、F则C、D、E、F不共线， 估计
轨迹为圆弧
设CD中点为O，连EO，设PA=a 则
1TAO1FOBT1D1BC?2r?故
1a ? a ， aa BD?(2r?a)?r?CD?BC?BD?2r??(r?)?r22222?EO?1OT?1r
1r ra11po1???(r?a)?OP DO1?CO1?2222222所以，轨迹是以CD中点O为圆心，
11r为半径的圆。 2习题21.设两动圆各切同一直线于一定点，且保持互相切，求它们切点的轨迹。 假设动圆O1切线l于点A，动圆O2切直线l于点B ，且⊙
lAO1oPO与⊙O2相切于点P，求点P的轨迹。 1
探求：⊙O1与⊙O2的圆心O1、O2分别在直线AO、BO上，故轨迹关于直线l对称 当O1→A、P→A、O2→B、P→B，
过P作⊙O1与⊙O2的公切线交AB于点O， 易见OP=OA=OB=
BO21AB 2故:所求轨迹应为以AB为直径的圆。
习题22.给定直线l及两圆w及引二切线的夹角。
1∠CPA=∠DPB 分析：设所求点为P，则P要求满足：○
2P在直线l上。 ○1有由○
使从点向w所引切线的夹角等于w所w,在l上求一点，
11?1?1
?CPA21?2??DPB 则∠1=∠2，
2∠3=∠4=90°
CwrA123EFDr1w14?
Awr r1B?wAP:?PwPw1?w1PB
?Bw1?lPP点的轨迹应在一个阿氏圆上，使
PwPw1?AwBw1?rr1即P点在以EF为直径的圆上。
作法：如分析过程作出E、F两点，以E、F为直径作圆W0、W2与l交于点P，P为所求点。
1阿氏圆的性质，Pw证明：由○
Pw1?r，∠3=∠4 ， r1?wAP:?w1PB??1??2 双?1?1?CPA,?2?1?DPB
?CPA??DPB
22P在直线上，故P为所求点。
讨论：当W0与直线相离时无解，当W0与直线相切时有一解，当W0与直线相交时，有两解。
习题23.定直线上有按A、B、C、D顺序排列的四定点，求一P使 ?APB??BPC??CPD
分析：假设P点已求出，由于 ?APB??BPC??CPD
所以BP是∠APC的角平分线，CP是∠BPD的角平分线，根据角平分线的性质有：
PAPABaBPBCb，可见，P
??,??CPBCbDPCDca点到A、C两定点的距离之比为常量P到B、
bbD两定点的距离之比为常量，因此，P点是
cAaBbCcDAP﹕CP=a﹕b的阿氏圆与BP﹕DP=b﹕c的阿氏圆的交点。
1在已知直线上取4点A、B、C、D，使得??DAC??EAC??BAC； 作法：○2作出到A、C两点距离之比等于a﹕b的点的轨迹,即阿氏圆 ○
3作出到B、D两点距离之比等于b﹕c的点的轨迹,即阿氏圆 ○
w1
w2
w1、w2交于点P，P为所求。连结PA、PB、PC、PD
证明：由作法知：AB﹕BC=a﹕b，P是阿氏圆
w上的点，故有AP﹕CP=a﹕b，所以AP﹕CP= AB
1﹕BC，所以PB是∠APC的角平分线，即有?APB??BPC
同理可证：?BPC??CPD，所以?APB??BPC??CPD，所求点P符合条件所求。
讨论：本题是否有解关键在于
习题24.求作△ABC，已知顶角A，高
w、w是否有交点，相交或相切时有一角，否则无解。
12ha，角平分线a。
t分析：设△ABC已作成，高AH=ha，角平分线AT=a，顶角∠BAC=∠?，则AT是∠BAC的平分线。Rt△AHT中，有两边AT、AH均已知，∠AHT=90°。故点H在以AT为直径的圆上，又AH=
tha，故H又在圆A（
ha）上，故可确定点H，延长TH分别交∠BAC两边于
B、C，则△ABC即为所求三角形。
作法：
1先求作∠BAC=∠?,作∠BAC的平分线AT,在射线○
AT上作点T,使AT=
Ata。
O2作AT的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，○
再以A为中心，ha为半径作一弧，交⊙O于H ，则
BTHCAH⊥HT。
3连结TH并两边延长，分别交AB、AC于B、C两点。∴△ABC为所求. ○
证明:由作法及三角形全等的判定(SAS)知, △ABC符合条件. 讨论:本题有无解,取决于⊙O(
ta2)与OA(
ha)有无公共点H,两圆有公共点H的条件是AT≥
HA即a≥
th,当t＞h时,有两解且合同,；t＝h时有一解,；t＜h时无解.
aaaaaaa习题25.求作△ABC，已知∠A，
ha， ma
分析：设△ABC已作出，中线AM=ma，高AH=
ha，顶角∠BAC=?，在Rt△AHM中，有
两边AH、AM为已知长，故可作出，顶点A的位置就决定了，又B、C关于点M对称，只要C确定，则B也确定，显然C点不在直线HM上，又M为BC中点，延长AM到D，使AM=MD，则可得AB∥CD，故?ACD?180???BAC?180???，故C点还在以AD为弦，内接角为180°-?的弧上，故此C可作出。
作法：若ma≥使得AH=
ha任作直线l，在l上取一点H，过H作AH⊥l，在AH上作一点A，
ha，以A为圆心，ma为半径画弧，交直线l于点M，延长AM至D，使AM=MD，再
以AD为弦，定角为180°-?为内接角作弧，交射线MH于点C，以M为心，MC为半径作弧，交射线MH于点B ，直线AB、AC，则△ABC为所求。 证明：由作法知，M为BC中点，AM为中线，又由AH⊥BC，知AH=
ha为高。
CMA又∵BM=CM，AM=DM，∠AMB=∠CMD ?AMB??DMC
?1??D?ABPCD
HDB?BAC?180???ACD??
故△ABC即为所要求的图。
讨论：有无解，取决于点M是否存在，点M为⊙A（ma）与直线l的交点，故：当ma﹥ha时两解且合同，当ma=
习题26.求作△ABC，已知a,ma、mb
分析：假设△ABC已作出，底边BC=a，中线BE=mb，CF=ma，则H为△ABC的重心，
ha时，有唯一解；当ma﹤
ha时无解。
22
，CH=在△BCH中，三边均已知，故可作出，现只需点A的位置即可，又mmba
33由BE，CF为中线，得E在AC上，F在AB上取一点A即在BF上，又在直线CE上，A可确定。
作法：
故BH=
（1）作△BCH，使BC=a，BH=CH交BA于F，使CF=ma；
(2)连接BF、CE并延长交于A，则△ABC为所求。
证明：
由作法知，BC?a,BH?2mb,BE?mb,CF?ma
3则
BFHC23mb，CH=
22
，延长BH至E，使BE=BH=mb延长ma
33
A21 21HE?BE?BH?mb?mb?mb,HF?CF?CH?ma?ma?ma3333∴HE﹕BH=HF﹕CH=1﹕2 ?BHC??EHF,??BHC:?EHF EF∥BC且EF﹕BC= HE﹕BH=1﹕2 ∴AF=BF AE=EC
即E、F分别为AC、AB的中点，故BE、CF是△ABC的中线。 所以△ABC为所求。
讨论：本题有无解，决定于△BCH是否存在，所以三角形的条件是：
222222 mb?ma?a,mb?a?ma,ma?a?mb333333
西南大学网络与继续教育《中学几何研究》作业及答案
