（0775）《中学几何研究》作业4
一、填空题：
1．欧氏几何的平行公理为 。 2．几何轨迹的纯粹性是指 。
3．一个公理化系统需解决三个基本问题，而首要的是 。 4．已知?ABC的三边长分别为6、7、9，则S?ABC? 。
?5．复数z?10e2，则|z|? 。
6．图形F经对称变换变为图形F?，其对称轴为g，该变换可记为 。 7．设A?、B?、C?是?ABC三边BC、CA、AB上的点，则AA?、BB?、CC?相交于一点的充要条件 。
8．到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹是一条直线，该直线称为 。 9．求解一个作图题的基本步骤是 。
二、解答下列各小题：
（1）在圆内接四边形ABCD中，已知BC?CD。求证：AC?AB?AD?BC. （2）作图题（只写作法）：已知?ABC，求作?ABC的外接圆。
二、简述《几何原本》的不足之处。 三、填空题：
1．过平面上直线外一点，有且只有一条直线与已知直线相平行。 2．轨迹上的点均满足条件。 3．相容性问题。 4．2110. 5．10。
22i?F?. 6．F???7．
s(g)AC?BA?CB????1. C?BA?CB?A8．等差幂线。
9．分析、作法、证明、讨论。
二、解答下列各小题：
（1）证明：SABCD?S?ABD?S?BCD 而S?ABD?S?BCD?SABCD11AB?ADsin?BCD?BC2sin?BCD （∵BC＝CD） 2211?AC?BDsin??AC?dsin?BCD?sin?（其中d为圆的直径） 2211AC?sin?BCD?d?sin(?1??2)?AC?sin?BCD?d?sin(?1??4) 2211?AC?sin?BCD?AC?AC2sin?BCD 22?∴AC?AB?AD?BC.
22
第（1）题图
（2）作法：作BC的中垂线l和AC的中垂线m，l与m交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆e(O,OA)即为所求。
第（2）题图
三、略。 四、填空题：
1．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是 。
2．用公理化方法写成的第一部几何巨著是 。 3．欧氏几何与罗氏几何的本质区别是 。 4．直线AB与PQ交于M，则S?PAB:S?QAB? 。
5．复数z?3?2i，则|z|? 。
6．图形F绕O逆时针旋转90得图形F?，该变换可记为 。 7．凸四边形ABCD内接于圆的充要条件是 。 8．与两定点A、B距离相等的点的轨迹是 。 9．在中学平面几何中，常用的作图方法是 。
二、解答下列各小题：
（1）设O为锐角三角形ABC的外心，若AO,BO,CO分别交对边于L,M,N三点，
设eO的半径为R，求证：
o1112???。 ALBMCNR
（2）作图题（只写作法）：已知eO及外一点P，过P作eO的切线。
三、简述尺规作图的作图公理。 五、填空题： 1．点、线、面。 2．《几何原本》。 3．平行公理不同。 4．PM:QM. 5．13。
?F?. 6．F????7．AB?CD?BC?AD?AC?BD.
8．线段AB的中垂线。
9．交轨法和三角形奠基法。
二、解答下列各小题： （1）证明：
R(0,90o)SVBCOOLAL?RR???1? SVABCALALAL同理可得
SVACOSRR?1?， VABO?1? SVABCBMSVABCCN如上三式相加得 1?3?R(所以
111??) ALBMCN1112??? ALBMCNR
（2）作法：连接OP，以OP为直径作圆交eO于点A、B，则直线AP、BP为过点P的两切线。
第（2）题图
三、略。 六、填空题：
1．对于一个公理化系统，其公理的选择应符合三个条件，即 、 和 。
2．黎曼几何的平行公理为 。 3．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其五组基本公理 是 、 、 、 及 。 4．已知?ABC的外接圆半径为R，三边长分别为a,b,c，则S?ABC? 。 5．复数z?r(cos??isin?)，该复数的指数形式为 。 6．将?ABC顺时针绕点O旋转30得?A?B?C?，该变换可记为 。 7．设A?、B?、C?是?ABC的边BC、CA、AB所在直线上的点，则A?、B?、C?共线的充要条件是 。
8．轨迹命题证明的两面性包括 和 。 9．人们常说的尺规作图不可能的三个古典问题是 。
二、解答下列各小题：
（1）在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于D、E、F.
求证：
oAFBDCE???1 BFCDAE
第（1）题图
（2）作图题（只写作法）：用尺规求作三角形ABC，已知ha,mb,mc。 三、简述《几何原本》的伟大贡献。 七、填空题：
1．相容性、独立性、完备性。
2．过平面上直线外一点，没有直线与已知直线相平行。 3．关联公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理。 4．
abc. 4Ri?5．z?re。
??A?B?C?. 6．?ABC????7．
R(0,?30o)AC?BA?CB????1. ???CBACBA8．完备性、纯粹性。
9．倍立方问题、三等分任意角问题、化圆为方问题。
二、解答下列各小题： （1） 证明：
AFS?CPABDS?APBCES?BPC???，， BFS?CPBCDS?APCAES?BPA∴
AFBDCES?PCAS?PABS?PBC??????1。 BFCDAES?PCBS?PACS?PAB
西南大学网络与继续教育《中学几何研究》作业及答案
