课时分层训练(十三) 变化率与导数、导数的计算
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f (x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( ) A．2(x－a) C．3(x－a)
2
3
2
2
2
2
2
B．2(x＋a) D．3(x＋a)
2
3
2
2
2
2
22
C [∵f (x)＝(x＋2a)(x－a)＝x－3ax＋2a，∴f ′(x)＝3(x－a)．] 2．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)等于( )
【导学号：66482101】
A．－e C．1
B．－1 D．e
1
B [由f (x)＝2xf ′(1)＋ln x，得f ′(x)＝2f ′(1)＋，
x∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.] 3．曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是( ) A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0
xxB．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0
C [y′＝cos x＋e，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.] 1
4．(2017·郑州模拟)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐42标为( )
A．3 C．1
B．2 1D． 2
x2
x3x31
B [因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x42x2x2
＝2或x＝－3(舍去)．]
5．已知f (x)＝x－2x＋x＋6，则f (x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A．4 25
C．
4
C [∵f (x)＝x－2x＋x＋6，
3
23
2
x2
B．5 13D． 2
∴f ′(x)＝3x－4x＋1，∴f ′(－1)＝8， 故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0， 5
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，
41525
∴所求面积S＝××10＝.]
244二、填空题
6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f (x)＝x－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________.
【导学号：66482102】
2x－y＋1＝0 [由题意得f ′(x)＝3x－1，则f ′(1)＝3×1－1＝2，即函数f (x)的图像在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]
7．若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
【导学号：66482103】
11
[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x2x1轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.] 2
8．如图2-10-1，y＝f (x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f (x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf (x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
2
2
2
3
2
图2-10-1
11
0 [由题图可知曲线y＝f (x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f ′(3)＝－.
33又因为g(x)＝xf (x)，
所以g′(x)＝f (x)＋xf ′(x)，g′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，
?1?由题图可知f (3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.]
?3?
三、解答题
9．求下列函数的导数： (1)y＝xlg x；
n 2
121(2)y＝＋2＋3；
xxxxsin x(3)y＝n. [解] (1)y′＝nx＝xn－1
n－1
lg x＋x·
n1
xln 10
?nlg x＋1?. ??ln 10???x?
?x?
－4
?1??2??1?(2)y′＝??′＋?2?′＋?3?′
?x?
－3
＝(x)′＋(2x)′＋(x)′ ＝－x－4x－3x 143＝－2－3－4. －2
－3
－1－2
xxx(3)y′＝?
x??sin n?′ ?x?
xnsin x′－xn′sin x＝ x2nxncos x－nxn－1sin x＝
x2n＝
xcos x－nsin x. xn＋1
132
10．已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
3(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围.
【导学号：66482104】
[解] (1)y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1，2分 5
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
3
2
2
?5?所以斜率最小的切线过点?2，?，4分 ?3?
斜率k＝－1，
11
所以切线方程为x＋y－＝0. 6分
3(2)由(1)得k≥－1，9分
?π??3π，π?. 12分
所以tan α≥－1，所以α∈?0，?∪??2??4??
3
2024高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 变化率与导数、导数的计算课时分层训练
