专题限时集训(六) 随机变量及其分布
(对应学生用书第89页)
(限时：40分钟)
题型1 相互独立事件的概率与条件概率 题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用 题型3 正态分布问题 一、选择题 1．(2017·长春三模)将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于
15
，则n的最小值为( ) 16
A．4 B．5 C．6 D．7
1,3,4,6,12 2,7,8,11,13 5,9,10,14 ?1?15
A [由题意，1－??≥，∴n≥4，
?2?16
∴n的最小值为4，故选A.]
2．(2017·绍兴一模)已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：
n
ξ p 422
若E(ξ)＝，则p＋q＝( )
9
p q q p 【导学号：07804045】
415
A. B． C. D．1 9294C [∵p＞0，q＞0，E(ξ)＝.
9∴由随机变量ξ的分布列的性质得： q＋p＝1???4pq＋qp＝?9?
，
45222
∴p＋q＝(q＋p)－2pq＝1－＝.故选C.]
99
3．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜
2
的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局
3的概率为( )
1 / 8
1224A. B． C. D． 3535
2221212220B [由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，
33333333272121228
其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，
333333278202
∴所求概率为÷＝，故选B.]
27275
4．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已
11
知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一
25次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A.
1121
B． C. D． 10552
C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事11
件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第
251
52PAB
二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C.]
PA15
2
1322
5．设随机变量η服从正态分布N(1，σ)，若P(η＜－1)＝0.2，则函数f(x)＝x＋x＋
3
η2x没有极值点的概率是( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 1322
C [∵函数f(x)＝x＋x＋ηx没有极值点，
3∴f′(x)＝x＋2x＋η＝0无解， ∴Δ＝4－4η＜0， ∴η＜－1或η＞1，
∵随机变量η服从正态分布N(1，σ)，P(η＜－1)＝0.2， ∴P(η＜－1或η＞1)＝0.2＋0.5＝0.7，故选C.]
6．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未
3
击中目标得0分，若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次
59
得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为( )
20
【导学号：07804046】
2
22
2
2 / 8
3431A. B． C. D． 5544
C [设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件
B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事
332
件B，则P(A)＝，P(A)＝1－＝，P(B)＝P，P(B)＝1－P，
555329
依题意得：×(1－P)＋×P＝，
55203
解得，P＝，故选C.]
4
7．(2016·厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽
的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 C．300
B．200 D．400
B [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知
ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝
2E(ξ)＝200，故选B.]
8．(2017·合肥二模)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为
止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3 C.18 5
7B． 2D．4
A221
＝，P(ξ＝3)＝A2510
B [由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4.P(ξ＝2)＝
3×2×1＋2×3×1＋3×2×13C23C12A33C1231
＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×
A3510A45510337
＋3×＋4×＝，故选B.]
1052
二、填空题
9．(2017·临汾三模)2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩
进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,8)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
31 [由题意，英语成绩超过95分的概率是， 82
2
3 / 8
∴在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率
2
2
?1??1?3
是C24·??·??＝.]
?2??2?8
10．(2017·江门一模)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有
一个正常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．
0．488 [∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，
∴P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2， ∴正态分布的对称轴为ξ＝6，
∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2， ∴9年内部件不能正常工作的概率为0.8＝0.512，
∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1－0.512＝0.488.]
11．(2017·蚌埠二模)某种游戏每局的规则是：参与者现在从标有5、6、7、8、9的相同
小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其资金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与资金，则E(ξ)－E(η)＝________(元)．
1
3 [由题意可得：P(ξ＝k)＝(k＝5,6,7,8,9)．
55＋6＋7＋8＋9
可得E(ξ)＝＝7.
5
3
η的取值为：2,4,6,8.
42
其中P(η＝2)＝＝ ，
C255
P(η＝4)＝＝，P(η＝6)＝＝，P(η＝8)＝＝，
其分布列为：
3C253
102C251
511C2510
η P 2 2 54 3 106 1 58 1 102311∴E(η)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4.
510510∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元)．]
12．(2017·嵊州市二模)一个盒子中有大小，形状完全相同，且编号分别为1,2的两个小
4 / 8
球，从中有放回地先后摸两次，每次摸一球，设摸到的小球编号之和为ξ，则P(ξ＝2)＝________，D(ξ)＝________.
112
[①从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有2＝4种，设取42
出两球的编号分别为x，y，则这4种情况是(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种；
则摸到的小球编号之和为ξ，ξ＝x＋y； 当ξ＝2时只有(1,1)1种情况； 1
所以P(ξ＝2)＝；
4
②由题意，ξ的所有可能取值为2,3,4； 21
且P(ξ＝3)＝＝，
42
P(ξ＝4)＝；
∴随机变量ξ的分布列为，
14
ξ P 2 1 414
12
14
3 1 24 1 4ξ的数学期望为E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝3，
1111222
方差为D(ξ)＝(2－3)×＋(3－3)×＋(4－3)×＝.] 4242
三、解答题
13．(2017·广州一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中
一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙2
每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
3
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
[解] (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝C14C221C24C123C34C021
＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝. C365C365C365
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 5 / 8
高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题3概率与统计专题限时集训6随机变量及其分布理
