例谈构造辅助圆解几何题
在解儿何题时，经常要添加辅助线，其中，有一种不寻常的辅助线一一圆，值得我们研 究，下面举例说明添加辅助圆在解儿何题屮的作用.
如图1,在平面直角坐标系中, 已知A点坐标是（2, —2）, 在y轴上确定点P, 一、通过辅助圆确定等腰三角形个数
使ZXAOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有 ______ 个.
解析 在平面直角坐标系中，因为0、A两点固定不动，相 当于已知等腰三角形一边OA, OA既可作底，又可作腰，因为等 腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一 性质，通过构造圆來解决.此题应分三种情况考虑：
① 当0A为腰、ZA为等腰三角形顶角吋，可以以点A为圆 心、0A为半径的作圆，交y轴于Pi点，则点P】就是所求；
② 当OA为腰、ZO为等腰三角形顶角时，可以以点D为圆 心、OA为半径的作圆，交y轴于P?和P4点，则点P2和卩4亦是所求;
③ 当0A为底时，作0A的中垂线交），轴于P3点，则点P3亦是所求作的点. 综上，符合条件的点P共有4个. 二、通过辅助圆确定直角三角形个数
r 1 6 Cl --- 匕 4 - 2 (A —一…—叭 丿 ] 例2在平面直角坐标系屮，点A的坐标为（1, 1）,点B 的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4,且AABC是直 角三角形，则满足条件的点C有—个.
0 -2 c^\\c6 ? x-4 图2
解析 如图2所示，在第一象限内，以AB为直角边吋，存在C】、C?两点；以AB为 斜边时，作以AB为直径的圆，交直线y=5于C3、G两点，由直径所对的圆周角是直角可 知，C3、
C4两点亦满足条件；由对称性可知，第四象限内存在C5、C6、C7、Cg四个点.故 满足条件的
点C共有8个.
说明 在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时，均可通过作辅助圆來 解决，这样在求满足条件的点吋可以做到不重不漏，是一?种较好的解题方法.
三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题
例3 已知：如图3, AABC屮，点E、F分别是AB、AC上的点.DE丄AB, DF丄AC,
AD±EF.求证：AD 平分 ZB AC.
图3
解析 设AD的中点为D,连结OE, OF.
VOE丄AB, DF丄AC.
???OE, OF分别是RtAADE, RtAADF斜边上的中线， ???0E =丄AD, OF=-AD,
2 2
即点O到A、E、D、F的距离相等，由此知，四点A、E、D、F在以点O为圆心，丄AD
2 为半径的圆上，AD是直径.
于是EF是OO的弦，而EF丄AD,
???AD平分&)F,即=
故ZDAE=ZDAF,即 AD 平分ZBAC.
说明 当两个直角三角形共斜边时，意味着存在四点共圆.通过构圆，利用垂径定理來 解决平分角的问题.
四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题
例 4 如图 4,已知四边形 ABCD, AB〃CD,且 AB = AC = AD=d, BC =b,且 2d>b, 求cosZDBA的值.
解析 既然己知AB = AC=AD,自然想到作以点A 为圆心、AB为半径的辅助圆，以点A为圆心，d为半径 作圆，延长BA交OA于E
图4
点，连接ED.
?.?AB〃CD,
.?.ZCAB=ZDCA, ZDAE=ZCDA. ?.? AC=AD,??? Z DCA= Z CDA, AZDAE=ZCAB /.ACAB^ADAE, ???ED=BC=b.
TBE 是直径，.,.ZEDB=90° .
在 RtAEDB 中，ED=b, BE=2d, 由勾股定理得ED2+BD2=BE2.
??? BE = VBE1 _ ED2 = /(2a)2
中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题.doc
