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中考数学复习指导:例谈构造辅助圆解几何题.doc

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例谈构造辅助圆解几何题

在解儿何题时,经常要添加辅助线,其中,有一种不寻常的辅助线一一圆,值得我们研 究,下面举例说明添加辅助圆在解儿何题屮的作用.

如图1,在平面直角坐标系中, 已知A点坐标是(2, —2), 在y轴上确定点P, 一、通过辅助圆确定等腰三角形个数

使ZXAOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有 ______ 个.

解析 在平面直角坐标系中,因为0、A两点固定不动,相 当于已知等腰三角形一边OA, OA既可作底,又可作腰,因为等 腰三角形中有两边相等,所以我们可以利用同圆中半径相等这一 性质,通过构造圆來解决.此题应分三种情况考虑:

① 当0A为腰、ZA为等腰三角形顶角吋,可以以点A为圆 心、0A为半径的作圆,交y轴于Pi点,则点P】就是所求;

② 当OA为腰、ZO为等腰三角形顶角时,可以以点D为圆 心、OA为半径的作圆,交y轴于P?和P4点,则点P2和卩4亦是所求;

③ 当0A为底时,作0A的中垂线交),轴于P3点,则点P3亦是所求作的点. 综上,符合条件的点P共有4个. 二、通过辅助圆确定直角三角形个数

r 1 6 Cl --- 匕 4 - 2 (A —一…—叭 丿 ] 例2在平面直角坐标系屮,点A的坐标为(1, 1),点B 的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为4,且AABC是直 角三角形,则满足条件的点C有—个.

0 -2 c^\\c6 ? x-4 图2

解析 如图2所示,在第一象限内,以AB为直角边吋,存在C】、C?两点;以AB为 斜边时,作以AB为直径的圆,交直线y=5于C3、G两点,由直径所对的圆周角是直角可 知,C3、

C4两点亦满足条件;由对称性可知,第四象限内存在C5、C6、C7、Cg四个点.故 满足条件的

点C共有8个.

说明 在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时,均可通过作辅助圆來 解决,这样在求满足条件的点吋可以做到不重不漏,是一?种较好的解题方法.

三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题

例3 已知:如图3, AABC屮,点E、F分别是AB、AC上的点.DE丄AB, DF丄AC,

AD±EF.求证:AD 平分 ZB AC.

图3

解析 设AD的中点为D,连结OE, OF.

VOE丄AB, DF丄AC.

???OE, OF分别是RtAADE, RtAADF斜边上的中线, ???0E =丄AD, OF=-AD,

2 2

即点O到A、E、D、F的距离相等,由此知,四点A、E、D、F在以点O为圆心,丄AD

2 为半径的圆上,AD是直径.

于是EF是OO的弦,而EF丄AD,

???AD平分&)F,即=

故ZDAE=ZDAF,即 AD 平分ZBAC.

说明 当两个直角三角形共斜边时,意味着存在四点共圆.通过构圆,利用垂径定理來 解决平分角的问题.

四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题

例 4 如图 4,已知四边形 ABCD, AB〃CD,且 AB = AC = AD=d, BC =b,且 2d>b, 求cosZDBA的值.

解析 既然己知AB = AC=AD,自然想到作以点A 为圆心、AB为半径的辅助圆,以点A为圆心,d为半径 作圆,延长BA交OA于E

图4

点,连接ED.

?.?AB〃CD,

.?.ZCAB=ZDCA, ZDAE=ZCDA. ?.? AC=AD,??? Z DCA= Z CDA, AZDAE=ZCAB /.ACAB^ADAE, ???ED=BC=b.

TBE 是直径,.,.ZEDB=90° .

在 RtAEDB 中,ED=b, BE=2d, 由勾股定理得ED2+BD2=BE2.

??? BE = VBE1 _ ED2 = /(2a)2

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例谈构造辅助圆解几何题在解儿何题时,经常要添加辅助线,其中,有一种不寻常的辅助线一一圆,值得我们研究,下面举例说明添加辅助圆在解儿何题屮的作用.如图1,在平面直角坐标系中,已知A点坐标是(2,—2),在y轴上确定点P,一、通过辅助圆确定等腰三角形个数使ZXAOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有______个.<
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