2012年全国高中数学联赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向 x直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是_____________.
1.设P是函数y?x?6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________.
?1?1?sin?的所有正整数n的和是_____________. 4n38．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
7．满足
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（1）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （2）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
10．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
(a1?a2?3?an)2?a13?a2?3?an
（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题满分20分）
如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （1）求证：|OA|?|OC|为定值；
（2）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求 点C的轨迹．
22
三、（本题满分50分）
,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0) 设P0,P1,P2,求证：P0P1?P0P2?
dP0Pn?()n(n?1)! 3四、（本题满分50分） 设Sn?1?11??，n是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列2n{Sn?[Sn]}中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数x的最大整数．
[来源:21世纪教育网]
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题
参考答案及详细评分标准(A卷word版)
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． １． 设P是函数y?x?轴作垂线，垂
足分别为A,B，则PA?PB的值是 ．
2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和yx２． 设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA?则
3c， 5
tanA
的值是 . tanB
【答案】4
[来源:21世纪教育网]
３．设x,y,z?[0,1]，则M?|x?y|?|y?z|?|z?x|的最大值是 . 【答案】2?1因为[21世纪教育网] 【解析】不妨设0?x?y?z?1,则M?y?x?z?y?z?x.
y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).
1时上式等号同时成立.故Mmax?2?1. 2所以M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1. 当且仅当y?x?z?y,x?0,z?1,y?
4.抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的两个动点，且满足
2?AFB?|MN|?．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则的最大值
|AB|321世纪教育网是 .
【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得MN?222AF?BF. 2在?AFB中,由余弦定理得AB?AF?BF?2AF?BFcos?3
?(AF?BF)2?3AF?BF?(AF?BF)2?3(AF?BF22?()?MN.
2当且仅当AF?BF时等号成立.故
AF?BF2)2MN的最大值为1. AB 5．设同底的两个正三棱锥P?ABC和Q?ABC内接于同一个球．若正三棱锥P?ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q?ABC的侧面与底面所成角的正切值是 ．
6. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】[2,??).
?７．满足
1?1?sin?的所有正整数n的和是 ． 4n3
【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当x?(0,?6)时,
3?x?sinx?x,由此得
1?3?1?,sin???,
1313412?124??1?3?1sin??,sin???.所以101039?93?1???1?sin??sin?sin?sin??sin. 134121110391?1故满足?sin?的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.
4n3sin?
８．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
??二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ９．（本小题满分１６分）已知函数f(x)?asinx?
131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（１）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （２）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
１０．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
(a1?a2?3?an)2?a13?a2?3?an
（１）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（２）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
１１．（本小题满分２０分）
如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB?OD?6． （１）求证：|OA|?|OC|为定值；
（２）当点A在半圆(x?2)?y?4（2?x?4）上运动时，求
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点C的轨迹．
【解析】因为OB?OD,AB?AD?BC?CD,所以O,A,C三点共线 如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有
OA?OC?(OK?AK)(OK?AK)
?OK?AK?(OB?BK)?(AB?BK)?OB?AB?62?42?20 (定
值)
(2)设C(x,y),A(2?2cos?,2sin?),其中???XMA(?22222222222?2???2?2),则?XOC??2.
因为OA?(2?2cos?)?(2sin?)?8(1?cos?)?16cos由(1)的结论得OCcos?2,所以OA?4cos?2?2?5,所以x?OCcos?2?5.从而
y?OCsin?2?5tan?2?[?5,5].
故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为A(5,5),B(5,?5)
2012年全国高中数学联赛加试试题（
21世纪教育网A卷）
一、（本题满分４０分）
如图，在锐角?ABC中，AB?AC,M,N是BC边上不同的两点，使得?BAM??CAN.设?ABC和?AMN的外心分别为O1,O2，求证：O1,O2,A三点共线。
证法一:令b?mx,b?1?2k?1y,消去b得2k?1y?mx?1.
k?1?x?x?2t?k?10由于(2,m)?1,这方程必有整数解;?其中t?z,(x0,y0)为方程的特解.
y?y?mt?0?????k?1把最小的正整数解记为(x,y),则x?2,故b?mx?2a?1,使b(b?1)是2a的倍
数．……40分 证法二:由于(2k?1,m)?1,由中国剩余定理知,同余方程组
?x?0(mod2k?1)k?1在区间(0,2m)上有解x?b,即存在b?2a?1,使b(b?1)是2a的倍??x?m?1(modm)数．…………40分
证法三:由于(2,m)?1,总存在r(r?N,r?m?1),使2?1(modm)取t?N,使
?r?tr?k?1,则2tr?1(modm)
trk?1存在b?(2?1)?q?(2m)?0,q?N,使0?b?2a?1,
此时mb,2
k?1m?1,因而b(b?1)是2a的倍数．……………40分
三、（本题满分５０分）
,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0) 设P0,P1,P2,求证：P0P1?P0P2?dP0Pn?()n(n?1)! 3
四、（本题满分５０分） 设Sn?1?11??，ｎ是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列2n{Sn?[Sn]}中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数ｘ的最大整数．
?【解析】证法一:(1)对任意n?N,有
11111111S2n?1????n?1??(1?2)?(n?1??n)
23222?122?12111111111?1??(2?2)??(n??n)?1?????n
222222222证法二:(1) S2n?1?111???n 23211111111?1??(1?2)?(n?1??n)?1??(2?2)?22?122?122221111?1?????n
2222?(1?2n?1) 2n
全国高中数学联赛试题及详细解析
