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(word完整版)人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案

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新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答

第一章 导数及其应用 3.1变化率与导数 练习(P6)

在第3 h和5 h时,原油温度的瞬时变化率分别为?1和3. 它说明在第3 h附近,原油温度大约以1 ℃/h的速度下降;在第5 h时,原油温度大约以3 ℃/h的速率上升.

练习(P8)

函数h(t)在t?t3附近单调递增,在t?t4附近单调递增. 并且,函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢. 说明:体会“以直代曲”1的思想. 练习(P9) 函数r(V)?33V(0?V?5)的图象为 4?

根据图象,估算出r?(0.6)?0.3,r?(1.2)?0.2.

说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A组(P10)

W(t)?W1(t0??t)W2(t0)?W2(t0??t)1、在t0处,虽然W1(t0)?W2(t0),然而10. ???t??t 所以,企业甲比企业乙治理的效率高.

说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵.

?hh(1??t)?h(1)???4.9?t?3.3,所以,h?(1)??3.3. 2、?t?t 这说明运动员在t?1s附近以3.3 m/s的速度下降. 3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数s(t)在t?5时的导数.

?ss(5??t)?s(5)???t?10,所以,s?(5)?10. ?t?t 因此,物体在第5 s时的瞬时速度为10 m/s,它在第5 s的动能

1Ek??3?102?150 J.

24、设车轮转动的角度为?,时间为t,则??kt2(t?0). 由题意可知,当t?0.8时,??2?. 所以k?25?25?2,于是??t. 88 车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数?(t)在t?3.2时的导数.

???(3.2??t)??(3.2)25????t?20?,所以??(3.2)?20?. ?t?t8 因此,车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为20?s?1. 说明:第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图可知,函数f(x)在x??5处切线的斜率大于零,所以函数在x??5附近单调递增. 同理可得,函数f(x)在x??4,?2,0,2附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调递减. 说明:“以直代曲”思想的应用.

6、第一个函数的图象是一条直线,其斜率是一个小于零的常数,因此,其导数f?(x)的图象如图(1)所示;第二个函数的导数f?(x)恒大于零,并且随着x的增加,f?(x)的值也在增加;对于第三个函数,当x小于零时,f?(x)小于零,当x大于零时,f?(x)大于零,并且随着x的增加,f?(x)的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B组(P11)

1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度.

2、

说明:由给出的v(t)的信息获得s(t)的相关信息,并据此画出s(t)的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换.

3、由(1)的题意可知,函数f(x)的图象在点(1,?5)处的切线斜率为?1,所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2)(3)某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.

说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2导数的计算 练习(P18)

1、f?(x)?2x?7,所以,f?(2)??3,f?(6)?5. 2、(1)y??1; (2)y??2ex; xln2 (3)y??10x4?6x; (4)y???3sinx?4cosx;

11x (5)y???sin; (6)y??.

332x?1习题1.2 A组(P18)

?SS(r??r)?S(r)??2?r??r,所以,S?(r)?lim(2?r??r)?2?r. 1、

?r?0?r?r2、h?(t)??9.8t?6.5. 3、r?(V)?133. 234?V4、(1)y??3x2?1; (2)y??nxn?1ex?xnex; xln23x2sinx?x3cosx?cosx(3)y??; (4)y??99(x?1)98; 2sinx(5)y???2e?x; (6)y??2sin(2x?5)?4xcos(2x?5). 5、f?(x)??8?22x. 由f?(x0)?4有 4??8?22x0,解得x0?32. 6、(1)y??lnx?1; (2)y?x?1. 7、y??x??1.

8、(1)氨气的散发速度A?(t)?500?ln0.834?0.834t.

(2)A?(7)??25.5,它表示氨气在第7天左右时,以25.5克/天的速率减少. 习题1.2 B组(P19) 1、(1)

(2)当h越来越小时,y?sin(x?h)?sinx就越来越逼近函数y?cosx.

h(3)y?sinx的导数为y?cosx.

2、当y?0时,x?0. 所以函数图象与x轴交于点P(0,0). y???ex,所以y?x?0??1.

所以,曲线在点P处的切线的方程为y??x.

2、d?(t)??4sint. 所以,上午6:00时潮水的速度为?0.42m/h;上午9:00时潮水的速度为?0.63m/h;中午12:00时潮水的速度为?0.83m/h;下午6:00时潮水的速度为?1.24m/h.

1.3导数在研究函数中的应用 练习(P26)

1、(1)因为f(x)?x2?2x?4,所以f?(x)?2x?2.

当f?(x)?0,即x?1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递增;

当f?(x)?0,即x?1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递减. (2)因为f(x)?ex?x,所以f?(x)?ex?1.

当f?(x)?0,即x?0时,函数f(x)?ex?x单调递增; 当f?(x)?0,即x?0时,函数f(x)?ex?x单调递减. (3)因为f(x)?3x?x3,所以f?(x)?3?3x2.

当f?(x)?0,即?1?x?1时,函数f(x)?3x?x3单调递增; 当f?(x)?0,即x??1或x?1时,函数f(x)?3x?x3单调递减. (4)因为f(x)?x3?x2?x,所以f?(x)?3x2?2x?1.

1 当f?(x)?0,即x??或x?1时,函数f(x)?x3?x2?x单调递增;

31 当f?(x)?0,即??x?1时,函数f(x)?x3?x2?x单调递减.

32、

注:图象形状不唯一.

3、因为f(x)?ax2?bx?c(a?0),所以f?(x)?2ax?b. (1)当a?0时,

b时,函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递增; 2abf?(x)?0,即x??时,函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递减.

2a(2)当a?0时,

bf?(x)?0,即x??时,函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递增;

2abf?(x)?0,即x??时,函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)单调递减.

2af?(x)?0,即x??4、证明:因为f(x)?2x3?6x2?7,所以f?(x)?6x2?12x. 当x?(0,2)时,f?(x)?6x2?12x?0,

因此函数f(x)?2x3?6x2?7在(0,2)内是减函数. 练习(P29)

1、x2,x4是函数y?f(x)的极值点,

其中x?x2是函数y?f(x)的极大值点,x?x4是函数y?f(x)的极小值点. 2、(1)因为f(x)?6x2?x?2,所以f?(x)?12x?1. 令f?(x)?12x?1?0,得x? 当x?调递减.

所以,当x?1. 1211时,f?(x)?0,f(x)单调递增;当x?时,f?(x)?0,f(x)单12121时,f(x)有极小值,并且极小值为1211149f()?6?()2??2??. 12121224 (2)因为f(x)?x3?27x,所以f?(x)?3x2?27. 令f?(x)?3x2?27?0,得x??3. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即x??3或x?3时;②当f?(x)?0,即?3?x?3时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?3) + 单调递增 ?3 0 54 (?3,3) - 单调递减 3 0 (3,??) + 单调递增 f?(x) f(x) ?54 因此,当x??3时,f(x)有极大值,并且极大值为54; 当x?3时,f(x)有极小值,并且极小值为?54. (3)因为f(x)?6?12x?x3,所以f?(x)?12?3x2. 令f?(x)?12?3x2?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即?2?x?2时;②当f?(x)?0,即x??2或x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?2) ?2 (?2,2) 2 (2,??) f?(x) f(x) - 单调递减 0 + 单调递增 0 22 - 单调递减 ?10 因此,当x??2时,f(x)有极小值,并且极小值为?10; 当x?2时,f(x)有极大值,并且极大值为22 (4)因为f(x)?3x?x3,所以f?(x)?3?3x2. 令f?(x)?3?3x2?0,得x??1. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即?1?x?1时;②当f?(x)?0,即x??1或x?1时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?1) - 单调递减 ?1 0 (?1,1) + 单调递增 1 0 2 (1,??) - 单调递减 f?(x) f(x) ?2 因此,当x??1时,f(x)有极小值,并且极小值为?2; 当x?1时,f(x)有极大值,并且极大值为2 练习(P31)

(1)在[0,2]上,当x?1时,f(x)?6x2?x?2有极小值,并且极小值为12149f()??. 1224 又由于f(0)??2,f(2)?20.

因此,函数f(x)?6x2?x?2在[0,2]上的最大值是20、最小值是?49. 24(2)在[?4,4]上,当x??3时,f(x)?x3?27x有极大值,并且极大值为f(?3)?54; 当x?3时,f(x)?x3?27x有极小值,并且极小值为f(3)??54; 又由于f(?4)?44,f(4)??44.

因此,函数f(x)?x3?27x在[?4,4]上的最大值是54、最小值是?54.

1(3)在[?,3]上,当x?2时,f(x)?6?12x?x3有极大值,并且极大值为f(2)?22.

3155 又由于f(?)?,f(3)?15.

327155 因此,函数f(x)?6?12x?x3在[?,3]上的最大值是22、最小值是.

327(4)在[2,3]上,函数f(x)?3x?x3无极值. 因为f(2)??2,f(3)??18.

因此,函数f(x)?3x?x3在[2,3]上的最大值是?2、最小值是?18. 习题1.3 A组(P31)

1、(1)因为f(x)??2x?1,所以f?(x)??2?0. 因此,函数f(x)??2x?1是单调递减函数.

(2)因为f(x)?x?cosx,x?(0,),所以f?(x)?1?sinx?0,x?(0,). 22 因此,函数f(x)?x?cosx在(0,)上是单调递增函数. 2 (3)因为f(x)??2x?4,所以f?(x)??2?0. 因此,函数f(x)?2x?4是单调递减函数. (4)因为f(x)?2x3?4x,所以f?(x)?6x2?4?0. 因此,函数f(x)?2x3?4x是单调递增函数. 2、(1)因为f(x)?x2?2x?4,所以f?(x)?2x?2.

当f?(x)?0,即x??1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递增. 当f?(x)?0,即x??1时,函数f(x)?x2?2x?4单调递减. (2)因为f(x)?2x2?3x?3,所以f?(x)?4x?3.

???3时,函数f(x)?2x2?3x?3单调递增. 43 当f?(x)?0,即x?时,函数f(x)?2x2?3x?3单调递减.

4 当f?(x)?0,即x?(3)因为f(x)?3x?x3,所以f?(x)?3?3x2?0. 因此,函数f(x)?3x?x3是单调递增函数.

(4)因为f(x)?x3?x2?x,所以f?(x)?3x2?2x?1. 当f?(x)?0,即x??1或x?1时,函数f(x)?x3?x2?x单调递增. 31 当f?(x)?0,即?1?x?时,函数f(x)?x3?x2?x单调递减.

33、(1)图略. (2)加速度等于0.

4、(1)在x?x2处,导函数y?f?(x)有极大值; (2)在x?x1和x?x4处,导函数y?f?(x)有极小值; (3)在x?x3处,函数y?f(x)有极大值; (4)在x?x5处,函数y?f(x)有极小值. 5、(1)因为f(x)?6x2?x?2,所以f?(x)?12x?1. 令f?(x)?12x?1?0,得x?? 当x??1. 121时,f?(x)?0,f(x)单调递增; 121 当x??时,f?(x)?0,f(x)单调递减.

121 所以,x??时,f(x)有极小值,并且极小值为

1211149f(?)?6?(?)2??2??.

12121224 (2)因为f(x)?x3?12x,所以f?(x)?3x2?12. 令f?(x)?3x2?12?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?2) + 单调递增 ?2 0 16 (?2,2) - 单调递减 2 0 (2,??) + 单调递增 f?(x) f(x) ?16 因此,当x??2时,f(x)有极大值,并且极大值为16;

当x?2时,f(x)有极小值,并且极小值为?16. (3)因为f(x)?6?12x?x3,所以f?(x)??12?3x2. 令f?(x)??12?3x2?0,得x??2. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?2) + 单调递增 ?2 0 22 (?2,2) - 单调递减 2 0 (2,??) + 单调递增 f?(x) f(x) ?10 因此,当x??2时,f(x)有极大值,并且极大值为22; 当x?2时,f(x)有极小值,并且极小值为?10. (4)因为f(x)?48x?x3,所以f?(x)?48?3x2. 令f?(x)?48?3x2?0,得x??4. 下面分两种情况讨论:

①当f?(x)?0,即x??2或x?2时;②当f?(x)?0,即?2?x?2时. 当x变化时,f?(x),f(x)变化情况如下表:

x (??,?4) - 单调递减 ?4 0 (?4,4) + 单调递增 4 0 128 (4,??) - 单调递减 f?(x) f(x) ?128 因此,当x??4时,f(x)有极小值,并且极小值为?128; 当x?4时,f(x)有极大值,并且极大值为128. 6、(1)在[?1,1]上,当x??为

1时,函数f(x)?6x2?x?2有极小值,并且极小值1247. 24 由于f(?1)?7,f(1)?9,

所以,函数f(x)?6x2?x?2在[?1,1]上的最大值和最小值分别为9,

47. 24 (2)在[?3,3]上,当x??2时,函数f(x)?x3?12x有极大值,并且极大值为16; 当x?2时,函数f(x)?x3?12x有极小值,并且极小值为?16. 由于f(?3)?9,f(3)??9,

所以,函数f(x)?x3?12x在[?3,3]上的最大值和最小值分别为16,?16.

11 (3)在[?,1]上,函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上无极值.

331269 由于f(?)?,f(1)??5,

3271269 所以,函数f(x)?6?12x?x3在[?,1]上的最大值和最小值分别为,

327?5.

(4)当x?4时,f(x)有极大值,并且极大值为128.. 由于f(?3)??117,f(5)?115,

所以,函数f(x)?48x?x3在[?3,5]上的最大值和最小值分别为128,?117. 习题3.3 B组(P32)

1、(1)证明:设f(x)?sinx?x,x?(0,?). 因为f?(x)?cosx?1?0,x?(0,?) 所以f(x)?sinx?x在(0,?)内单调递减

因此f(x)?sinx?x?f(0)?0,x?(0,?),即sinx?x,x?(0,?). 图略

(2)证明:设f(x)?x?x2,x?(0,1). 因为f?(x)?1?2x,x?(0,1)

1 所以,当x?(0,)时,f?(x)?1?2x?0,f(x)单调递增,

2f(x)?x?x2?f(0)?0;

1 当x?(,1)时,f?(x)?1?2x?0,f(x)单调递减,

2f(x)?x?x2?f(1)?0;

11 又f()??0. 因此,x?x2?0,x?(0,1). 图略

24(3)证明:设f(x)?ex?1?x,x?0. 因为f?(x)?ex?1,x?0

所以,当x?0时,f?(x)?ex?1?0,f(x)单调递增,

f(x)?ex?1?x?f(0)?0;

当x?0时,f?(x)?ex?1?0,f(x)单调递减,

f(x)?ex?1?x?f(0)?0;

综上,ex?1?x,x?0. 图略 (4)证明:设f(x)?lnx?x,x?0. 因为f?(x)?1?1,x?0 x1?1?0,f(x)单调递增, x 所以,当0?x?1时,f?(x)?f(x)?lnx?x?f(1)??1?0; 当x?1时,f?(x)?1?1?0,f(x)单调递减, xf(x)?lnx?x?f(1)??1?0;

当x?1时,显然ln1?1. 因此,lnx?x. 由(3)可知,ex?x?1?x,x?0.

. 综上,lnx?x?ex,x?0 图略

2、(1)函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象大致是个“双峰”图象,类似“

”或

“”的形状. 若有极值,则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值,从图象上能大致估计它的单调区间.

(2)因为f(x)?ax3?bx2?cx?d,所以f?(x)?3ax2?2bx?c. 下面分类讨论:

当a?0时,分a?0和a?0两种情形: ①当a?0,且b2?3ac?0时,

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2,且x1?x2,

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0,即x?x1或x?x2时,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增;

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0,即x1?x?x2时,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减.

当a?0,且b2?3ac?0时,

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增. ②当a?0,且b2?3ac?0时,

设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2,且x1?x2,

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0,即x1?x?x2时,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增;

当f?(x)?3ax2?2bx?c?0,即x?x1或x?x2时,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减.

当a?0,且b2?3ac?0时,

此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1.4生活中的优化问题举例 习题1.4 A组(P37)

1、设两段铁丝的长度分别为x,l?x,则这两个正方形的边长分别为

xl?x,,44xl?x21两个正方形的面积和为 S?f(x)?()2?()?(2x2?2lx?l2),0?x?l.

4416l 令f?(x)?0,即4x?2l?0,x?.

2ll 当x?(0,)时,f?(x)?0;当x?(,l)时,f?(x)?0.

22l 因此,x?是函数f(x)的极小值点,也是最小值点.

2l 所以,当两段铁丝的长度分别是时,两个正方形的面积和最小.

22、如图所示,由于在边长为a的正方形铁片的四角截去

xa四个边长为x的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为a?2x,高为x.

a (1)无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x,0?x?.

2(2)因为V(x)?4x3?4ax2?a2x, 所以V?(x)?12x2?8ax?a2.

aa(舍去),或x?. 26aaa 当x?(0,)时,V?(x)?0;当x?(,)时,V?(x)?0.

662a 因此,x?是函数V(x)的极大值点,也是最大值点.

6a 所以,当x?时,无盖方盒的容积最大.

63、如图,设圆柱的高为h,底半径为R, 令V?(x)?0,得x?则表面积S?2?Rh?2?R2

RV. ?R2V2V2 因此,S(R)?2?R?2?R??2?R2,R?0. 2?RR 由V??R2h,得h? 令S?(R)??h2VV. ?4?R?0,解得R?3R2? 当R?(0,3V)时,S?(R)?0; 2?(第3题)

当R?(3V,??)时,S?(R)?0. 2?3 因此,R?V是函数S(R)的极小值点,也是最小值点. 此时,2?h?VV3?2?2R. ?R22? 所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.

1n2n24、证明:由于f(x)??(x?ai),所以f?(x)??(x?ai).

ni?1ni?11n 令f?(x)?0,得x??ai,

ni?11n 可以得到,x??ai是函数f(x)的极小值点,也是最小值点.

ni?11n 这个结果说明,用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理

ni?1的,

这就是最小二乘法的基本原理.

?x22x5、设矩形的底宽为xm,则半圆的半径为m,半圆的面积为m,

82矩形的面积为a??x2a?xm2,矩形的另一边长为(?)m 8x8因此铁丝的长为l(x)??x2?x?2a?x?2a8a ??(1?)x?,0?x?x44x?令l?(x)?1??4?2a8a,得(负值舍去). ?0x?2x4??当x?(0,8a8a8a)时,l?(x)?0;当x?(,)时,l?(x)?0. 4??4???8a是函数l(x)的极小值点,也是最小值点. 4??8am时,所用材料最省. 4??因此,x?所以,当底宽为6、利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘单价. 由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.

11 收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2,

8811 利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100,0?q?200.

881 求导得L???q?21

41 令L??0,即?q?21?0,q?84.

4 当q?(0,84)时,L??0;当q?(84,200)时,L??0;

因此,q?84是函数L的极大值点,也是最大值点.

所以,产量为84时,利润L最大,

习题1.4 B组(P37)

1、设每个房间每天的定价为x元,

x?1801那么宾馆利润L(x)?(50?)(x?20)??x2?70x?1360,180?x?680.

10101 令L?(x)??x?70?0,解得x?350.

5 当x?(180,350)时,L?(x)?0;当x?(350,680)时,L?(x)?0. 因此,x?350是函数L(x)的极大值点,也是最大值点.

所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x元/件时,

b?x45b利润L(x)?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x),a?x?.

4bb8c4ac?5bc4a?5b 令L?(x)??x?. ?0,解得x?8bb4a?5b4a?5b5b 当x?(a,)时,L?(x)?0;当x?(,)时,L?(x)?0.

8844a?5b 当x?是函数L(x)的极大值点,也是最大值点.

84a?5b 所以,销售价为元/件时,可获得最大利润.

81.5定积分的概念 练习(P42) 8. 3说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想.

练习(P45)

ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???,i?1,2,L,n.

nnnnnni 于是 s???si???si???v()?t

ni?1i?1i?1i12??[?()2???]

nnni?1nnnn11n?121n21??()2??L?()??()??2

nnnnnn1??3[1?22?L?n2]?2

n1n(n?1)(2n?1)??3??2

n6111??(1?)(1?)?2

3n2n 取极值,得

n1i1115 s?lim?[v()]?lim?[?(1?)(1?)?2]?

n??n??n3n2n3i?1ni?1n说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.

222、km.

3说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习(P48)

?20x3dx?4. 说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意

义.

从几何上看,表示由曲线y?x3与直线x?0,x?2,y?0所围成的曲边梯形的面积S?4.

习题1.5 A组(P50) 1、(1)?(x?1)dx??[(1?1i?12100i?11)?1]??0.495; 100100i?11)?1]??0.499; 500500i?11)?1]??0.4995. 10001000 (2)?(x?1)dx??[(1?1i?12500 (3)?(x?1)dx??[(1?1i?121000说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.

2、距离的不足近似值为:18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40(m); 距离的过剩近似值为:27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67(m). 3、证明:令f(x)?1. 用分点 a?x0?x1?L?xi?1?xi?L?xn?b

将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i(i?1,2,L,n)

作和式

?i?1nf(?i)?x??i?1nnb?a?b?a, n 从而

?ba1dx?lim?n??i?1b?a?b?a, n说明:进一步熟悉定积分的概念.

4、根据定积分的几何意义,?101?x2dx表示由直线x?0,x?1,y?0以及曲线

y?1?x2所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此

?101?x2dx?0?1?4.

5、(1)?x3dx??1. 430?1由于在区间[?1,0]上x?0,所以定积分?x3dx表示由直线x?0,x??1,y?0和曲线y?x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.

11 (2)根据定积分的性质,得?xdx??xdx??x3dx????0.

?1?104413031由于在区间[?1,0]上x?0,在区间[0,1]上x?0,所以定积分?x3dx等于位于x轴

33?11上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

202115 (3)根据定积分的性质,得?x3dx??x3dx??x3dx???4?

?1?1044由于在区间[?1,0]上x3?0,在区间[0,2]上x3?0,所以定积分?x3dx等于位于x轴

?12上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.

说明:在(3)中,由于x3在区间[?1,0]上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直接利用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵挡一些项,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分?x3dx化

?12为?xdx??x3dx,这样,x3在区间[?1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的,再利

?10032用定积分的定义,容易求出?x3dx,?x3dx,进而得到定积分?x3dx的值. 由此可

?10?1022见,利用定积分的性质可以化简运算.

在(2)(3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的几何意义.

习题1.5 B组(P50)

1、该物体在t?0到t?6(单位:s)之间走过的路程大约为145 m.

说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)v?9.81t.

i118?9?88.29(m) (2)过剩近似值:?9.81???9.81??;

2242i?18 不足近似值:?9.81?i?148i?1118?7??9.81???68.67(m) 2242 (3)?9.81tdt;

04?09.81tdt?78.48(m).

3、(1)分割

在区间[0,l]上等间隔地插入n?1个分点,将它分成n个小区间:

ll2l(n?2)l[0,],[,],……,[,l], nnnn(i?1)lil 记第i个区间为[,其长度为 ,](i?1,2,Ln)

nnil(i?1)ll?x???.

nnnll2l(n?2)l 把细棒在小段[0,],[,],……,[,l]上质量分别记作:

nnnn?m1,?m2,L,?mn,

则细棒的质量m???mi.

i?1n(2)近似代替

(i?1)lil,]上,可以认为线密度?(x)?x2nn的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点

(i?1)lil(i?1)lil?i?[,]处的函数值?(?i)??i2. 于是,细棒在小段[,]上质量

nnnnl?mi??(?i)?x??i2(i?1,2,Ln).

n(3)求和

当n很大,即?x很小时,在小区间[ 得细棒的质量 m???mi???(?i)?x???i2i?1i?1i?1nnnl. n(4)取极限

细棒的质量 m?lim??i2n??i?1nll,所以m??x2dx..

0n1.6微积分基本定理

练习(P55)

(1)50; (2)(5)

42550?; (4)24; ; (3)33331?ln2; (6); (7)0; (8)?2. 22说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A组(P55)

40191、(1); (2)??3ln2; (3)?ln3?ln2;

3223?217?1; (6)e2?e?2ln2. (4)?; (5)86说明:本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.

?2、?sinxdx?[?cosx]30?2.

03?它表示位于x轴上方的两个曲边梯形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为:位于x轴上方的两个曲边梯形的面积(取正值)与x轴下方的曲边梯形的面积(取负值)的代数和. 习题1.6 B组(P55)

?12x1e2111341、(1)原式=[e]0??; (2)原式=[sin2x]?; ??22222462x36]1? (3)原式=[. ln2ln2cosmx?1]????[cosm??cos(?m?)]?0;

??mm?sinmx?1 (2)?cosmxdx?????[sinm??sin(?m?)]?0;

??mm??1?cos2mxxsin2mx? (3)?sin2mxdx??dx?[?]????;

????224m??1?cos2mxxsin2mx?2 (4)?cosmxdx??dx?[?]????.

????224m3、(1

tggggggs(t)??(1?e?kt)dt?[t?2e?kt]t0?t?2e?kt?2?49t?245e?0.2t?245.

0kkkkkk2、(1)?sinmxdx?[??)

(2)由题意得 49t?245e?0.2t?245?5000.

这是一个超越方程,为了解这个方程,我们首先估计t的取值范围. 根据指数函数的性质,当t?0时,0?e?0.2t?1,从而 5000?49t?5245, 因此, 因此245e?0.2?500049?750005245?t?. 4949?0.2?524549?3.36?10,245e?1.24?10?7,

所以,1.24?10?7?245e?0.2t?3.36?10?7.

从而,在解方程49t?245e?0.2t?245?5000时,245e?0.2t可以忽略不计.

5245(s). 49说明:B组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分,可视学生的具体情况选做,不要求掌握. 1.7定积分的简单应用 练习(P58)

32(1); (2)1.

3说明:进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习(P59)

因此,.49t?245?5000,解之得 t?1、s??(2t?3)dt?[t2?3t]53?22(m).

35342、W??(3x?4)dx?[x2?4x]0?40(J).

02习题1.7 A组(P60)

91、(1)2; (2).

2bqqqq2、W??k2dr?[?k]b. ?k?kaarrab43、令v(t)?0,即40?10t?0. 解得t?4. 即第4s时物体达到最大高度.

4?80(m). 最大高度为 h??(40?10t)dt?[40t?5t2]0044、设ts后两物体相遇,则

?t0(3t2?1)dt??10tdt?5,

0t 解之得t?5. 即A,B两物体5s后相遇. 此时,物体A离出发地的距离为

?50(3t2?1)dt?[t3?t]50?130(m).

5、由F?kl,得10?0.01k. 解之得k?1000. 所做的功为 W??1000ldl?500l2?0.10?5(J).

00.155?0,解之得t?10. 因此,火车经过10s后完全停止. 1?t10551 (2)s??(5?t?)dt?[5t?t2?55ln(1?t)]100?55ln11(m). 01?t2y习题1.7 B组(P60)

6、(1)令v(t)?5?t?1、(1)?a?aa2?x2dx表示圆x2?y2?a2与x轴所围成的上

a半圆的面积,因此?1?aa?xdx?22?a22

O1x (2)?[1?(x?1)2?x]dx表示圆(x?1)2?y2?1与直线

0(第1(2)题)

y?x所围成的图形(如图所示)的面积,

因此,?[1?(x?1)?x]dx?012??1241?1??1?1??. 242Oxhbyb3202、证明:建立如图所示的平面直角坐标系,可设抛物线的

b4h方程为y?ax2,则h?a?()2,所以a?2.

b24h从而抛物线的方程为 y?2x2.

b 于是,抛物线拱的面积S?2?(h?b204h24h2(第2题) x)dx?2[hx?x]?bh. b23b23?y?x2?23、如图所示.解方程组?

?y?3x 得曲线y?x2?2与曲线y?3x交点的横坐标x1?1,x2?2. 于是,所求的面积为?[(x2?2)?3x]dx??[3x?(x2?2)]dx?1.

01124、证明:W??R?hRGMmMmR?hMmhdr?[?G]?G. R2rrR(R?h)第一章 复习参考题A组(P65)

1、(1)3; (2)y??4. 2、(1)y??x2sinxcosx?2x; (2)y??3(x?2)2(3x?1)(5x?3); 2cosx2x2x?2x2(3)y??2lnxln2?; (4)y??. 4x(2x?1)3、F???2GMm. r34、(1)f?(t)?0. 因为红茶的温度在下降.

(2)f?(3)??4表明在3℃附近时,红茶温度约以4℃/min的速度下降. 图略. 5、因为f(x)?3x2,所以f?(x)?233x.

当f?(x)?23x3?0,即x?0时,f(x)单调递增;

当f?(x)?23x3?0,即x?0时,f(x)单调递减.

6、因为f(x)?x2?px?q,所以f?(x)?2x?p. 当f?(x)?2x?p?0,即x?? 由?p?1时,f(x)有最小值. 2p?1,得p??2. 又因为f(1)?1?2?q?4,所以q?5. 27、因为f(x)?x(x?c)2?x3?2cx2?c2x, 所以f?(x)?3x2?4cx?c2?(3x?c)(x?c). 当f?(x)?0,即x?c,或x?c时,函数f(x)?x(x?c)2可能有极值. 3由题意当x?2时,函数f(x)?x(x?c)2有极大值,所以c?0. 由于

x c(??,) 3+ c 30 c(,c) 3- c 0 (c,??) + f?(x) f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以,当x?cc时,函数f(x)?x(x?c)2有极大值. 此时,?2,c?6. 338、设当点A的坐标为(a,0)时,?AOB的面积最小. 因为直线AB过点A(a,0),P(1,1),

y?0x?a1,即y??(x?a).

x?01?a1?aaa). 当x?0时,y?,即点B的坐标是(0,a?1a?1 所以直线AB的方程为 因此,?AOB的面积S?AOB1aa2?S(a)?a?.

2a?12(a?1)1a2?2a 令S?(a)?0,即S?(a)???0. 22(a?1) 当a?0,或a?2时,S?(a)?0,a?0不合题意舍去.

x (0,2) 2 (2,??) 由于

f?(x) 0 - +

f(x) 单调递减 极小值 单调递增

所以,当a?2,即直线AB的倾斜角为135?时,?AOB的面积最小,最小面积为2.

9、D.

10、设底面一边的长为xm,另一边的长为(x?0.5)m. 因为钢条长为14.8m. 所以,长方体容器的高为 设容器的容积为V,则

14.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x??3.2?2x.

44V?V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x3?2.2x2?1.6x,0?x?1.6.

令V?(x)?0,即?6x2?4.4x?1.6?0. 所以,x??4(舍去),或x?1. 15 当x?(0,1)时,V?(x)?0;当x?(1,1.6)时,V?(x)?0. 因此,x?1是函数V(x)在(0,1.6)的极大值点,也是最大值点. 所以,当长方体容器的高为1 m时,容器最大,最大容器为1.8 m3. 11、设旅游团人数为100?x时,

旅行社费用为y?f(x)?(100?x)(1000?5x)??5x2?500?100000(0?x?80). 令f?(x)?0,即?10x?500?0,x?50.

又f(0)?100000,f(80)?108000,f(50)?112500. 所以,x?50是函数f(x)的最大值点.

所以,当旅游团人数为150时,可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为xcm时,可使其打印面积最大.

623.7 因为打印纸的面积为623.7,长为x,所以宽为,

x623.7?2?3.17) 打印面积S(x)?(x?2?2.54)(x3168.396 ?655.9072?6.34x?,5.08?x?98.38.

x2 令S?(x)?0,即6.34?3168.396623.7,(负值舍去),?0?27.89. x?22.36x222.36 x?22.36是函数S(x)在(5.08,98.38)内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点.

所以,打印纸的长、宽分别约为27.89cm,22.36cm时,可使其打印面积最大. 13、设每年养q头猪时,总利润为y元.

1 则 y?R(q)?20000?100q??q2?300q?20000(0?q?400,q?N).

2 令y??0,即?q?300?0,q?300.

当q?300时,y?25000;当q?400时,y?20000.

q?300是函数y(p)在(0,400]内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点. 所以,每年养300头猪时,可使总利润最大,最大总利润为25000元. 14、(1)23?2; (2)2e?2; (3)1;

??22cosx?sinxdx??2(cosx?sinx)dx?[sinx?cosx]02?0; (4)原式=?200cosx?sinx?? (5)原式=?201?cosxx?sinx???2dx?[]02?. 22415、略. 说明:利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释. 16、22?2.

17、由F?kl,得0.049?0.01k. 解之得k?4.9.

l20.3 所做的功为 W??4.9ldl?4.9??0.1?0.196(J)

0.120.3第一章 复习参考题B组(P66)

1、(1)b?(t)?104?2?103t. 所以,细菌在t?5与t?10时的瞬时速度分别为0和

?104.

(2)当0?t?5时,b?(t)?0,所以细菌在增加; 当5?t?5?55时,b?(t)?0,所以细菌在减少.

2、设扇形的半径为r,中心角为?弧度时,扇形的面积为S.

1l 因为S??r2,l?2r??r,所以???2.

2r11l1lS??r2?(?2)r2?(lr?2r2),0?r?.

222r2l 令S??0,即l?4r?0,r?,此时?为2弧度.

4ll r?是函数S(r)在(0,)内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点.

42l 所以,扇形的半径为、中心角为2弧度时,扇形的面积最大.

43、设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,那么r2?h2?R2.

1111 因此,V??r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,0?h?R.

333331R. 令V???R2??h2?0,解得h?33 容易知道,h?3R是函数V(h)的极大值点,也是最大值点. 3 所以,当h?3R时,容积最大. 3 把h?36R代入r2?h2?R2,得r?R. 3326?. 3 由R??2?r,得?? 所以,圆心角为??26?时,容积最大. 34、由于80?k?102,所以k?4. 5422020x???480 5xx9600 ?16x?,x?0

x9600 令y??0,即16?2?0,x?24.

x 设船速为xkm/h时,总费用为y,则y? 容易知道,x?24是函数y的极小值点,也是最小值点. 当x?24时,(16?24?960020)?()?941(元/时) 2424 所以,船速约为24km/h时,总费用最少,此时每小时费用约为941元.

390x2130(3?)??14,5、设汽车以xkm/h行驶时,行车的总费用y?50?x?100 x360x 令y??0,解得x?53(km/h). 此时,y?114(元) 容易得到,x?53是函数y的极小值点,也是最小值点.

因此,当x?53时,行车总费用最少.

所以,最经济的车速约为53km/h;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约是114元.

x4426、原式=?edx??e?xdx??exdx?[?e?x]0?2?e?0?e?e?2.

?2?204x04?y?kx7、解方程组 ? 2?y?x?x得,直线y?kx与抛物线y?x?x2交点的横坐标为x?0,1?k.

x2x31111 抛物线与x轴所围图形的面积S??(x?x)dx?[?]0???.

023236121?k1?kS2 由题设得 ??(x?x)dx??kxdx

020??1?k01?k2x31?k(x?x?kx)dx?[x?]0

232(1?k)3?.

634113又因为S?,所以(1?k)?. 于是k?1?.

262说明:本题

1?k0也可

1?k0以由面积相等直接得到

?

1?k0(x?x2?kx)dx??kxdx??(x?x2)dx,由此求出k的值. 但计算较为烦琐.

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答

第二章 推理与证明

2.1合情推理与演绎推理

练习(P77)

1、由a1?a2?a3?a4?1,猜想an?1.

2、相邻两行数之间的关系是:每一行首尾的数都是1,其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.

3、设VO?PQ和VO?P2Q2R2分别是四面体O?PQ11R1和O?P2Q2R2的体积, 11R1则

VO?PQ11R1VO?P2Q2R2?OP1OQ1OR1. ??OP2OQ2OR2练习(P81) 1、略.

2、因为通项公式为an的数列{an}, 若

an?1?p,其中p是非零常数,则{an}是等比数列; ……………………大前提 anan?1cqn?1 又因为cq?0,则q?0,则??q; ……………………………小

ancqn前提

所以,通项公式为an?cqn(cq?0)的数列{an}是等比数列. ……………………结论

3、由AD?BD,得到?ACD??BCD的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中,大边对大角”,小前提是“AD?BD”,而AD与BD不在同一个三角形中.

习题2.1 A组(P83)

2(n?N?). 1、an?n?12、F?V?E?2.

3、当n?6时,2n?1?(n?1)2;当n?7时,2n?1?(n?1)2;当n?8时,

2n?1?(n?1)2(n?N?).

111n24、?(n?2,且n?N?). ?LL?A1A2An(n?2)?5、b1b2Lbn?b1b2Lb17?n(n?17,且n?N?). 6、如图,作DE∥AB交BC于E.

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为AD∥BE,AB∥DE. 所以四边形ABED是平行四边形.

ADBE(第6题)

C 因为平行四边形的对边相等.

又因为四边形ABED是平行四边形. 所以AB?DE.

因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等,

又因为AB?DE,AB?DC, 所以DE?DC 因为等腰三角形的两底角是相等的.

又因为△DEC是等腰三角形, 所以?DEC??C 因为平行线的同位角相等

又因为?DEC与?B是平行线AB和DE的同位角, 所以?DEC??B 因为等于同角的两个角是相等的,

又因为?DEC??C,?DEC??B, 所以?B??C 习题2.1 B组(P84)

23456n?11、由S1??,S2??,S3??,S4??,S5??,猜想Sn??.

34567n?22、略. 3、略.

2.2直接证明与间接证明 练习(P89)

1、因为cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2?,所以,命题得证. 2、要证6?7?22?5,只需证(6?7)2?(22?5)2, 即证13?242?13?410,即证42?210,

只需要(42)2?(210)2,即证42?40,这是显然成立的. 所以,命题得证. 3、因为 (a2?b2)2?(a?b)2(a?b)2?(2sin?)2(2tan?)2?16sin2?tan2?, 又因为 16ab?16(tan??sin?)(tan??sin?)?16sin?(1?cos?)sin?(1?cos?) ?cos?cos?sin2?(1?cos2?)sin2?sin2??16?16sin2?tan2?, ?1622cos?cos? 从而(a2?b2)2?16ab,所以,命题成立.

说明:进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.

练习(P91)

1、假设?B不是锐角,则?B?90?. 因此?C??B?90??90??180?. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以,假设不成立. 从而,?B一定是锐角.

2、假设2,3,5成等差数列,则23?2?5. 所以(23)2?(2?5)2,化简得5?210,从而52?(210)2,即25?40, 这是不可能的. 所以,假设不成立.

从而,2,3,5不可能成等差数列.

说明:进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A组(P91)

b1、由于a?0,因此方程至少有一个跟x?.

a 假设方程不止一个根,则至少有两个根,不妨设x1,x2是它的两个不同的根,

则 ax1?b ①

ax2?b ②

①-②得

a(x1?x2)?0

因为x1?x2,所以x1?x2?0,从而a?0,这与已知条件矛盾,故假设不成立. 2、因为 (1?tanA)(1?tanB)?2

展开得 1?tanA?tanB?tanAtanB?2,即tanA?tanB?1?tanAtanB. ①

cosAcosB?sinAsinBcos(A?B) 假设1?tanAtanB?0,则?0 ?0,即

cosAcosBcosAcosB 所以cos(A?B)?0.

因为A,B都是锐角,所以0?A?B??,从而A?B? 因此1?tanAtanB?0.

tanA?tanB ①式变形得 ?1, 即tan(A?B)?1.

1?tanAtanB 又因为0?A?B??,所以A?B??2,与已知矛盾.

?4说明:本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.

1?tan?3、因为 ?1,所以1?2tan??0,从而2sin??cos??0.

2?tan? 另一方面,要证 3sin2???4cos2?, 只要证6sin?cos???4(cos2??sin2?) 即证 2sin2??3sin?cos??2cos2??0, 即证 (2sin??cos?)(sin??2cos?)?0

由2sin??cos??0可得,(2sin??cos?)(sin??2cos?)?0,于是命题得证. 说明:本题可以单独使用综合法或分析法进行证明,但把综合法和分析法结合使用

.

进行证明的思路更清晰.

4、因为a,b,c的倒数成等差数列,所以 假设B?211??. bac?2不成立,即B??2,则B是?ABC的最大内角,

所以b?a,b?c(在三角形中,大角对大边), 从而

11112211????. 这与??矛盾. acbbbbac所以,假设不成立,因此,B?习题2.2 B组(P91)

?2.

s2

1、要证s?2a,由于s?2ab,所以只需要s?,即证b?s.

b

2 因为s?1(a?b?c),所以只需要2b?a?b?c,即证b?a?c. 2 由于a,b,c为一个三角形的三条边,所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 b2?ac ① 2x?a?b,2y?b?c ② 要证

ac??2,只要证ay?cx?2xy,只要证2ay?2cx?4xy xy由①②,得 2ay?2cx?a(b?c)?c(a?b)?ab?2ac?bc, 4xy?(a?b)(b?c)?ab?b2?ac?bc?ab?2ac?bc, 所以,2ay?2cx?4xy,于是命题得证. 3、由 tan(???)?2tan? 得

sin(???)2sin??,即sin(???)cos??2cos(???)sin?. ……①

cos(???)cos? 要证 3sin??sin(2???)

即证 3sin[(???)??]?sin[(???)??]

即证 3[sin(???)cos??cos(???)sin?]?sin(???)cos??cos(???)sin? 化简得sin(???)cos??2cos(???)sin?,这就是①式.

所以,命题成立.

说明:用综合法和分析法证明命题时,经常需要把两者结合起来使用. 2.3数学归纳法 练习(P95)

1、先证明:首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式是an?a1?(n?1)d. (1)当n?1时,左边=a1,右边=a1?(1?1)d?a1, 因此,左边=右边. 所以,当n?1时命题成立. (2)假设当n?k时,命题成立,即ak?a1?(k?1)d. 那么,ak?1?ak?d?a1?(k?1)d?d?ak?[(k?1)?1]d. 所以,当n?k?1时,命题也成立.

根据(1)和(2),可知命题对任何n?N?都成立.

n(n?1)d. 21?(1?1) (1)当n?1时,左边=S1?a1,右边=1?a1?d?a1,

2因此,左边=右边. 所以,当n?1时命题成立.

k(k?1) (2)假设当n?k时,命题成立,即Sk?ka1?d.

2k(k?1)那么,Sk?1?Sk?ak?1?ka1?d?a1?[(k?1)?1]d

2(k?1)?(k?1)a1?k[?1]d

2(k?1)k?(k?1)a1?d

2 所以,当n?k?1时,命题也成立. 再证明:该数列的前n项和的公式是Sn?na1? 根据(1)和(2),可知命题对任何n?N?都成立. 2、略.

习题2.3 A组(P96) 1、(1)略.

(2)证明:①当n?1时,左边=1,右边=12?1, 因此,左边=右边. 所以,当n?1时,等式成立. ②假设当n?k时等式成立,即1?3?5?L?(2k?1)?k2. 那么,1?3?5?L?(2k?1)?(2k?1)?k2?(2k?1)?(k?1)2. 所以,当n?k?1时,等式也成立.

根据①和②,可知等式对任何n?N?都成立.

(3)略.

112、S1??1?,

1?22111111 S2???(1?)?(?)?1?,

1?22?32233111111111 S3????(1?)?(?)?(?)?1?.

1?22?33?42233441 由此猜想:Sn?1?.

n?1 下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

111111 (1)当n?1时,左边=S1??1??,右边=1??1??,

1?222n?122因此,左边=右边. 所以,当n?1时,猜想成立. (2)假设当n?k时,猜想成立,即

11111???L??1?. 1?22?33?4k(k?1)k?11111111???L???1?? 那么,. 1?22?33?4k(k?1)(k?1)(k?2)k?1(k?1)(k?2)11(1?) k?1k?21k?2?11 ?1???1?k?1k?2k?2 所以,当n?k?1时,猜想也成立. ?1? 根据(1)和(2),可知猜想对任何n?N?都成立. 习题2.3 B组(P96) 1、略

12、证明:(1)当n?1时,左边=1?1?1,右边=?1?(1?1)?(1?2)?1,

6因此,左边=右边. 所以,当n?1时,等式成立. (2)假设当n?k时,等式成立,

1即1?k?2?(k?1)?3?(k?2)?L?k?1?k(k?1)(k?2).

6 那么,1?(k?1)?2?[(k?1)?1]?3?[(k?1)?2]?L?(k?1)?1.

?[1?k?2?(k?1)?3?(k?2)?L?k?1]?[1?2?3?L?(k?1)]

11?k(k?1)(k?2)?(k?1)(k?2) 621?(k?1)(k?2)(k?3) 6 所以,当n?k?1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何n?N?都成立.

第二章 复习参考题A组(P98)

1、图略,共有n(n?1)?1(n?N?)个圆圈.

n个6782、33L3(n?N?).

3、因为

f(2)?f(1)2?4,所以

f(1)?2,f(3)?f(2)f(1)?8,

f(4)?f(3)f(1)?16…… 猜想f(n)?2n.

4、运算的结果总等于1.

5、如图,设O是四面体A?BCD内任意一点,连结AO,BO,CO,DO并延长交对面于A?,B?,C?,D?,则

AOA?OB?OC?OD? ????1

AA?BB?CC?DD?用“体积法”证明: C'OA?OB?OC?OD? ???D'AA?BB?CC?DD?B' ?VO?BCDVO?CDAVO?DABVO?ABC???

VA?BCDVB?CDAVC?DABVD?ABCBA'C(第5题)

DV ?A?BCD?1

VA?BCD6、要证 (1?tanA)(1?tanB)?2

只需证 1?tanA?tanB?tanAtanB?2 即证 tanA?tanB?1?tanAtanB

5 由A?B??,得tan(A?B)?1. ①

4?tanA?tanB又因为A?B?k??,所以?1,变形即得①式. 所以,命题得证.

1?tanAtanB27、证明:(1)当n?1时,左边=?1,右边=(?1)1?1??1, 因此,左边=右边. 所以,当n?1时,等式成立.

(2)假设当n?k时,等式成立, 即?1?3?5?L?(?1)k(2k?1)?(?1)kk.

那么,?1?3?5?L?(?1)k(2k?1)?(?1)k?1[2(k?1)?1].

?(?1)kk?(?1)k?1[2(k?1)?1]

?(?1)k?1[?k?2(k?1)?1] ?(?1)k?1(k?1)

所以,当n?k?1时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何n?N?都成立.

第二章 复习参考题B组(P47)

1、(1)25条线段,16部分; (2)n2条线段;

1(3)最多将圆分割成n(n?1)?1部分.

2 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当n?1时,结论成立.

②假设当n?k时,结论成立,

1即:k条线段,两两相交,最多将圆分割成k(k?1)?1部分

2 当n?k?1时,其中的k条线段l1,l2,L,lk两两相交,最多将圆分割成

1k(k?1)?1 部分,第k?1条线段ak?1与线段l1,l2,L,lk都相交,最多增加k?1个部2分,因此,k?1条线段,两两相交,最多将圆分割成

11 k(k?1)?1?(k?1)?(k?1)(k?2)?1 部分

22 所以,当n?k?1时,结论也成立. 根据①和②,可知结论对任何n?N?都成立. 2、要证 cos4??4cos4??3

因为 cos4??4cos4??cos(2?2?)?4cos(2?2?) ?1?2sin22??4?(1?2sin22?)

?1?8sin2?cos2??4?(1?8sin2?cos2?) ?1?8sin2?(1?sin2?)?4?[1?8sin2?(1?sin2?)] 只需证 1?8sin2?(1?sin2?)?4?[1?8sin2?(1?sin2?)]?3 由已知条件,得 sin??sin??cos?,sin2??sin?cos?,

2 代入上式的左端,得 1?8sin2?(1?sin2?)?4?[1?8sin2?(1?sin2?)]

??3?8sin?cos?(1?sin?cos?)?32sin2?(1?sin2?)

??3?8sin?cos??8sin2?cos2??2(1?2sin?cos?)(3?2sin?cos?)

??3?8sin?cos??8sin2?cos2??6?8sin2?cos2??8sin?cos? ?3 因此,cos4??4cos4??3

新课程标准数学选修2—2第三章课后习题解答

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念 练习(P104)

1、实部分别是?2,2,2,0,0,0; 21 虚部分别是,1,0,?3,1,0.

32、2?7,0.618,0,i2是实数;

2i,i,5i?8,3?92i,i(1?3),2?2i是虚数; 72 i,i,i(1?3)是纯虚数.

7

?x?y?2x?3y?x?43、由?,得?.

y?1?2y?1y??2??练习(P105)

1、A:4?3i,B:3?3i,C:?3?2i,D:4?3i,

511E:??3i,F:,G:5i,H:?5i.

222、略. 3、略.

习题3.1 A组(P106)

?x?1?3x?2y?171、(1)由?,得?.

?y?7?5x?y??2?x?y?3?0?x?4 (2)由?,得?

?x?4?0?y??12、(1)当m2?3m?0,即m?0或m?3时,所给复数是实数. (2)当m2?3m?0,即m?0或m?3时,所给复数是虚数.

2??m?5m?6?0 (3)当?2,即m?2时,所给复数是纯虚数.

??m?3m?03、(1)存在,例如?2?i,?2?3i,等等.

1 (2)存在,例如1?2i,??2i,等等.

2 (3)存在,只能是?2i.

4、(1)点P在第一象限. (2)点P在第二象限. (3)点P位于原点或虚轴的下半轴上. (4)点P位于实轴下方.

2??m?8m?15?05、(1)当?2,即?2?m?3或5?m?7时,复数z对应的点位于第

??m?5m?14?0四象限.

22???m?8m?15?0?m?8m?15?0 (2)当?2,或?2,即m??2或3?m?5或m?7时,

???m?5m?14?0?m?5m?14?0复数z对应的点位于第一、三象限.

(3)当m2?8m?15?m2?5m?14,即m?上.

6、(1)2?i; (2)?2?i. 习题3.1 B组(P55)

1、复数z对应的点位于如图所示的图形上. 2、由已知,设z?a?3i(a?R). 则 a2?(3)2?4 解得 a??1 所以 z??1?3i 3、因为 z1?12?22?5, z2?(2)2?(3)2?5 29时,复数z对应的点位于直线y?x3 z3?(3)2?(?2)2?5 z4?(?2)2?12?5 所以,Z1

,Z2,Z3,Z4这4个点都在以原点为圆心,半径为5的圆上.

3.2复数代数形式的四则运算 练习(P109) 1、(1)5; (2)2?2i; (3)?2?2i; (4)0. 2、略. 练习(P111) 1、(1)?18?21i; (2)6?17i; (3)?20?15i; 2、(1)?5; (2)?2i; (3)5. 3、(1)i; (2)?i; (3)1?i; (4)?1?3i. 习题3.2 A组(P112)

751、(1)9?3i; (2)?2?3i; (3)?i; (4)0.3?0.2i.

612uuur2、AB对应的复数为(?3?4i)?(6?5i)??9?i.

uuur BA对应的复数为9?i.

3、3?5i.

uuur 向量BA对应的复数为(1?3i)?(?i)?1?4i.

uuur 向量BC对应的复数为(2?i)?(?i)?2?2i.

uuur 于是向量BD对应的复数为(1?4i)?(2?2i)?3?6i, 点D对应的复数为(?i)?(3?6i)?3?5i. 4、(1)?21?24i; (2)?32?i; (3)?5、(1)?3?13?113?i; (4)??i. 22222418134?i; (2)?i; (3)?i; (4)1?38i. 55656525256、由2(2i?3)2?p(2i?3)?q?0,得(10?3p?q)?(2p?24)i?0.

?10?3p?q?0于是,有?,解得 p?12,q?26.

?2p?24?0习题3.2 B组(P112) 1、(1)x2?4?(x?2i)(x?2i).

(2)a4?b4?(a?b)(a?b)(a?bi)(a?bi), 2、略.

第三章 复习参考题A组(P116)

1、(1)A; (2)B; (3)D; (4)C. 2、由已知,设z?bi(b?R且b?0); 则(z?2)2?8i?(bi?2)2?8i?(4?b2)?(4b?8)i.

?4?b2?0 由(z?2)?8i是纯虚数,得?,解得b??2. 因此z??2i.

4b?8?0?23、由已知,可得z1?z2?8?6i,z1z2?55?10i. 又因为

zz111z1?z255?10i5????5?i. ,所以z?12?zz1z2z1z2z1?z28?6i2第三章 复习参考题B组(P116)

1、设z?a?bi(a,b?R),则z?a?bi. 由(1?2i)z?4?3i,得(1?2i)(a?bi)?4?3i, 化简,得(a?2b)?(2a?b)i?4?3i.

?a?2b?4 根据复数相等的条件,有?,解得a?2,b?1.

?2a?b?3 于是z?2?i,z?2?i,则2

z2?i34???i. 2?i55z(1)

i1 i2 i3 i4 1 i5 i6 i7 i8 1 i ?1 ?i i ?1 ?i (2)对任意n?N,有i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1.

?m?2cos?3、由z1?z2,得 ? 2?4?m???3sin? 消去m可得??4sin2??3sin?

39?4(sin??)2?.

816 由于?1?sin??1,可得

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新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用3.1变化率与导数练习(P6)在第3h和5h时,原油温度的瞬时变化率分别为?1和3.它说明在第3h附近,原油温度大约以1℃/h的速度下降;在第5h时,原油温度大约以3℃/h的速率上升.练习(P8)函数h(t)在t?t3附近单调递增,在t?t
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