习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
i1（1）（2）
(i?1)(i?2)3?2i13i821（3）?（4）?i?4i?i
i1?i13?2i解：（1）z?， ?3?2i1332因此：Rez?, Imz??，
1313ii?3?i（2）z?， ??(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??, Imz?，
101013i3?3i3?5i（3）z??， ??i??i1?i2235因此，Rez?, Imz??，
32821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i 因此，Rez??1, Imz?3，
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2）?1?（4）r(cos?解：（1）i3i（3）r(sin??icos?)
?isin?)（5）1?cos??isin? (0???2?)
?cos?2?isin?2?2?e
i2?i223（2）?1?3i?2(cos??isin?)?2e
33（3）r(sin?（4）r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i
??(??)i2?
（5）1?cos??isin??2sin2??2isincos 222??3． 求下列各式的值： （1）(3?i)5（2）(1?i)100?(1?i)100
(cos5??isin5?)2(1?3i)(cos??isin?)（3）（4）
(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?)（5）3i（6）解：（1）(（2）(1?i)（3）
1?i 3?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]5 66100???(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251
(1?3i)(cos??isin?)
(1?i)(cos??isin?)(cos5??isin5?)2（4） 3(cos3??isin3?)（5）i?3cos3?2?isin?2
（6）1?i??2(cos??isin) 44?4． 设z1z1?i, z2?3?i,试用三角形式表示z1z2与1
z22解：z1?cos?4?isin?, z2?2[cos(?)?isin(?)]，所以
466??z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin)，
464612125． 解下列方程： （1）(z?i)5???????1（2）z4?a4?0 (a?0)
5解：（1）z?i?1,由此
z?51?i?e（2）z2k?i5?i，(k?0,1,2,3,4)
?4?a4?4a4(cos??isin?) 4个根分别为：
11?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)]，当k?0,1,2,3时，对应的
44aaaa(1?i), (?1?i), (?1?i), (1?i) 2222x?y6． 证明下列各题：（1）设z?x?iy,则2?z?x?y
证明：首先，显然有z?x2?y2?x?y；
其次，因x2?y2?2xy,固此有2(x2?y2)?(x?y)2,
从而
z?x2?y2?x?y2。
（2）对任意复数z2221,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)
证明：验证即可，首先左端?(x21?x2)?(y1?y22)，
而右端?x21?y21?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]
?x221?y1?x222?y2?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y22)，
由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a?bi是实系数代数方程an0z?an?11z?L?an?1z?a0?0
的一个根，那么a?bi也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：a10(z)n?a1(z)n??L?an?1z?a0?0
由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。 （4）若
a?1,则?b?a,皆有
a?b1?ab?a
证明：根据已知条件，有aa?1，因此：
a?ba?ba1?ab?aa?ab??ba(a?b)?1a?a，证毕。
（5）若a?1, b?1，则有
a?b1?ab?1 证明：
a?b2?(a?b)(a?b)?a2?b2?ab?ab，
1?ab2?(1?ab)(1?ab)?1?a2b2?ab?ab，
因为
a?1, b?1，所以，
a2?b2?a2b2?1?(1?a2)(b2?1)?0，
zn?(z)n，
复变函数课后习题答案
