三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L,其中r是圆的半径。 rxy,余弦函数cosα=,
rr定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=正切函数tanα=
rxry，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=.
yyxx111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
cot?csc?sec?sin?cos?商数关系：tanα=； ,cot??cos?sin?乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;
（Ⅳ）sin?????????????=cosα, cos????=sinα, tan????=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 222????????定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间?2k???2,2k????2??上为增函数，在区间?2k?????3?,2k????上为减函数， 22?最小正周期：2?. 奇偶性：奇函数 有界性：当且仅当x=2kx+对称性：直线x=k?+
??时，y取最大值1，当且仅当x=3k?-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。 22?均为其对称轴，点（k?, 0）均为其对称中心。这里k∈Z. 2定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点?k??????,0?均为其对称中心。这里k∈Z. 2????)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 222?最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
2定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α?β)=cosαcosβ?sinαsinβ,
sin(α?β)=sinαcosβ?cosαsinβ;
(tan??tan?). tan(α?β)=
(1?tan?tan?)2222 两角和与差的变式：sin??sin??cos??cos??sin(???)sin(???)
定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x?kπ+
三角和的正切公式：tan(?????)?定理7 和差化积与积化和差公式:
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan??????????????????????cos??, sinα-sinβ=2sin??cos??,
?2??2??2??2?????????????????????cosα+cosβ=2cos??cos??, cosα-cosβ=-2sin??sin??,
?2??2??2??2?11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
22sinα+sinβ=2sin?定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=
三倍角公式及变式：sin3??3sin??4sin?，cos3??4cos??3cos?
332tan?.
(1?tan2?)11，cos(60si?n(?60?)?sin3??)cos?cos(60??)?cos3?
44(1?cos?)(1?cos?)??定理9 半角公式: sin=?, cos=?,
2222sin?(1?cos?)?(1?cos?)?. tan=?=
sin?2(1?cos?)(1?cos?) sin(6?0?)?sin?????????2tan??1?tan2??2tan???2?, cos???2?,tan???2?.
定理10 万能公式: sin???????????1?tan2??1?tan2??1?tan2???2??2??2?定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2?0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，
ba22则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=(a?b)sin(α+β).
a2?b2a2?b2abc定理12 正弦定理：在任意△ABC中有???2R，
sinAsinBsinC其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC中有a?bcosC?ccosB，b?acosC?ccosA，c?acosB?bcosA 定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，OI?R?2Rr，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。 定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长p?则S?22a?b?c 211abcaha?absinC??rp?2R2sinAsinBsinC?rR(sinA?sinB?sinC) 224R定理17 与△ABC三个内角有关的公式：
ABCcoscos; 222ABC （2）cosA?cosB?cosC?1?4sinsinsin;
222（3）tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC;
ABBCCA（4）tantan?tantan?tantan?1;
222222（5）cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1; （6）sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBsinC.
（1）sinA?sinB?sinC?4cos定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+?)的图象（相位
1，得到y=sin?x(??0)的图象（周期变换）；横坐标不变，?纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(?x+?)(?, ?>0)(|A|
?叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asin?x的图象。
???????定义4 函数y=sinx?的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])， x??,??????22???变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx??x??????????,???的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). 22???函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kx?arccosa, k∈Z}.
如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。
恒等式：arcsina+arccosa=
定理20 若干有用的不等式：
??；arctana+arccota=. 22????，则sinx xx2（1）若x??0,（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R， 有x?y?z?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x??222??????,??，则-1 ????)≤2<，所以0 ?-cosx)=sin(cosx). 2综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx) 3．最小正周期的确定。 例3 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 因为cos(-x)=cosx，所以cos|x|=cosx, 所以T=2π是函数的周期； 4．三角最值问题。 例4 已知函数y=sinx+1?cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos?,1?cosx?则有y=2cos??23???2sin???0???, 4??42sin??2sin(???4). 3????0??，所以?????，所以0?sin(??)≤1， 442443???所以当???，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当??，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2. 4422因为 ?【解法二】 因为y=sinx+1?cosx?22(sin2x?1?cos2x)=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤1?cos2x，所以0≤sinx+1?cos2x≤2， 所以当1?cos2x=sinx，即x=2kπ+当1?cos2x=-sinx，即x=2kπ-5．换元法的使用。 ?(k∈Z)时, ymax=2， 2?(k∈Z)时, ymin=0。 2sinxcosx的值域。 1?sinx?cosx?2?2????2sin(x?). sinx?cosx【解】 设t=sinx+cosx=2?2?24??例5 求y?因为?1?sin(x??4)?1,所以?2?t?2. x2?1?2?12?1t2?1t?12 ?y?. 又因为t=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以y?2?，所以 2221?t2?t?12?1??2?1???1,,?1??因为t?-1，所以??1，所以y?-1.所以函数值域为y????. ??22?2???6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(?x+?)(A, ?, ?>0). ?3????? ,0?对称，且在区间?0,?上例6 已知f(x)=sin(?x+?)(?>0, 0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M??4??2? 是单调函数，求?和?的值。 【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(?x+?)=sin(-?x+?)， ?所以cos?sinx=0，对任意x∈R成立。又0≤?≤π，解得?=， 233?3??,0?对称，所以f(??x)?f(??x)=0。 因为f(x)图象关于M?44?4???33??2?3?????0.所以??k??(k∈Z)，即?=(2k+1) (k∈Z). 取x=0，得f(?)=0，所以sin?2?4423?4??又?>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 22??取k=1时，?=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 2210??取k=2时，?≥，此时f(x)=sin(?x+)在[0，]上不是单调函数， 3222综上，?=或2。 37．三角公式的应用。 55????3??,2??，求sin2α,cos2β的值。 ，sin(α+β)=- ，且α-β∈?,??，α+β∈?1313?2??2?12???2【解】 因为α-β∈?,??，所以cos(α-β)=-1?sin(???)??. 13?2?例7 已知sin(α-β)= 12?3??,2??，所以cos(α+β)=1?sin2(???)?. 13?2?120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=, 169又因为α+β∈?cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例8 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且【解】 因为A=1200-C，所以cos 112A?C???，试求cos的值。 cosAcosCcosB2A?C=cos(600-C)， 21111cos(1200?C)?cosC又由于 ????cosAcosCcos(1200?C)cosCcosCcos(1200?C)= ???22， 11[cos1200?cos(1200?2C)]cos(1200?2C)?22A?C2A?C32A?C2A?C???所以42cos或cos。 ?2cos?32=0。解得cos222822A?C2A?C?又cos>0，所以cos。 222例9 求证：tan20?+4cos70?=3 sin20?sin20??4sin20?cos20?sin20??2sin40?????【解】 tan20+4cos70=+4sin20? ???cos20cos20cos20例10 证明：cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx?64cosx 分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为sinx、 cosx的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 33证明：因为cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx, 2cos600cos(600?C)2cos(600?C)7 从而有16cos6x?cos23x?6cos3xcosx?9cos2x 评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令 11z?cos??isin?,则2cos??z?,从而,128cos7??(z?)7，展开即可. zz 已知1?tan??2001,求证:sec2??tan2??2001.1?tan?例11 1?tan?1?cos(?2?)1?tan?1?sin2??21?tan?证明：sec2??tan2?? ??tan(??)??2001.?cos2?41?tan?sin(?2?)2?2001.??例12 证明：对任一自然数n及任意实数x?m?(k?0,1,2,?,n,m为任一整数）， k2有 111?????cotx?cot2nx.nsin2xsin4xsin2x
全国高中数学竞赛专题-三角函数
