专题六 数 列
考点1 数列的概念及简单表示法
1.(2016·浙江，13)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
**，121 由于解得a1＝1，a2＝3， 当n≥2时，由已知可得： an＋1＝2Sn＋1，① an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1， ∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列. 1－1×35
∴S5＝＝121.
1－3
?1?
2.(2015·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列?a?前10项的
?n?
和为________.
20
2. [∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－111
(2＋n)(n－1)n（n＋1）1
个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝
22an1111111220
1－＋－＋…＋－?＝.] ＝2?n－n＋1?，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2?1011?11?223?n（n＋1）?
3.(2015·安徽，18)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式；
22
(2)记Tn＝x21x3…x2n－1，证明Tn≥＋
＋
1
. 4n
＋
＋
3.(1)解 y′＝(x2n2＋1)′＝(2n＋2)x2n1,曲线y＝x2n2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2， 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).
1n
令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝. n＋1n＋1(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知1
当n＝1时，T1＝. 4
22
Tn＝x21x3…x2n－1＝
?1??3?…?2n－1?.
?2??4??2n?
222
?2n－1?＝（2n－1）>（2n－1）－1＝2n－2＝n－1. 当n≥2时，因为x22n－1＝2nn?2n?（2n）2（2n）2
222
1?12n－11
所以Tn>?×××…×＝. ?2?23n4n1综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥.
4n
4.(2014·广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式.
S1＝a1＝2a2－3－4，??
4. (1)依题有?S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
??S3＝a1＋a2＋a3＝15，(2)∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①
∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1).② （2n－1）an＋6n＋1
①－②并整理得an＋1＝. 2n由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明. 当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立. 则当n＝k＋1时，
（2k－1）ak＋6k＋1（2k－1）（2k＋1）＋6k＋1ak＋1＝＝＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，
2k2k即当n＝k＋1时，结论成立. 综上，?n∈N*，an＝2n＋1.
2
考点2 等差数列及其前n项和
1.(2016·浙江,6)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋2,n∈N*,|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|,Bn≠Bn＋2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|,Sn为 △AnBnBn＋1的面积，则( )
A.{Sn}是等差数列 B.{S2n}是等差数列 B.C.{dn}是等差数列 D.{d2n}是等差数列
**[Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn－1|长度一半,即Sn＝
1
hn|BnBn－1|，由题目中条件可知|BnBn－1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么2
A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hn＝h1＋|A1An|tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为
定值)，
11
从而Sn＝(h1＋|A1An|tan θ)|BnBn＋1|，Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|，
22
1
则Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tan θ，都为定值，所以Sn＋1－Sn为定值，故选A.]
2
2.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A.100 B.99 C.98 D.97
9（a1＋a9）9×2a52.C[由等差数列性质,知S9＝＝＝9a5＝27,得a5＝3,而a10＝8,因此公差d＝
22a10－a5
＝1,∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.] 10－5
3.(2015·重庆，2)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.6 ** [由等差数列的性质,得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0,选B.]
4.(2015·北京，6)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3 D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
** [A,B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2，即a2>成立.]
5.(2014·福建，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14
** [设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.]
6.(2014·辽宁，8)设等差数列{an}的公差为d.若数列{21n}为递减数列，则( ) **<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0
** [{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a＋a1(n－1)d＝a1dn＋a－a1d，故a1d<0，故选C.]
7.(2016·北京，12)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________. ** [∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
aa
6×（6－1）
∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.]
2
8.(2016·江苏，8)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.
**[设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得 则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.]
9.(2016·全国Ⅱ，17)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
9.(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n. b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2. 0，1≤n<10，
??1，10≤n<100，
(2)因为b＝?
2，100≤n<1 000，??3，n＝1 000，
n
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
10.(2015·广东，10)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________. **[因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]
11.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.
**[由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a1＝5.]
12.(2015·新课标全国Ⅰ，17)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a2n＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式；
1(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和.
anan＋1
2
12.解(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
222可得a2n＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝an＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an).
由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知bn＝
11111
＝＝?2n＋1－2n＋3?.
?anan＋1（2n＋1）（2n＋3）2?设数列{bn}的前n项和为Tn，则
1?11??11?n?1－1??＝－＋－Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?＋…＋
2??35??57??2n＋12n＋3??3（2n＋3）
13.(2014·北京，12)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.
** [∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大.]
14.(2015·四川，16)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
?1?1(2)记数列?a?的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.
1 000?n?
14.解 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)， 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n. 1?n?1??1－?2??111112?1
(2)由(1)得 ＝n，所以Tn＝＋＋…＋n＝＝1－n. an224212
1－2由|Tn－1|＜
111n1－n－1?＜，得??2?1 000，即2＞1 000， 1 000
因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10， 于是，使|Tn－1|＜
15.(2014·大纲全国，18)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
anan＋1
15.解 (1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列{an}的公差d为整数. 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.
1
成立的n的最小值为10. 1 000
14-16年真题分类(理)-第六章数列
