理科:第二章 空间向量及其应用 一、考纲解读 1.空间向量及其运算.
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用.
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；
（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 二、命题趋势探究
立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些. 三、知识点精讲
(一).空间向量及其加减运算 1.空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB.
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2.零向量与单位向量
规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点B重合时，AB?0. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为?a. 4.空间向量的加法和减法运算
（1）OC?OA?OB?a?b，BA?OA?OB?a?b.如图8-152所示.
（2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a?b?b?a，a?b?c?a?b?c (二).空间向量的数乘运算 1．数乘运算
实数?与空间向量a的乘积?a称为向量的数乘运算.当??0时，?a与向量a方向相同；当??0时，向量?a与向量a方向相反. ?a的长度是a的长度的?倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
?????a?b??a??b，??a?????a.
???? 2
3.共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a//b. 4.共线向量定理
对空间中任意两个向量a，bb?0，a//b的充要条件是存在实数?，使a??b. 5.直线的方向向量
如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线.对空间任意一点O，点P在直线
??l上的充要条件是存在实数t，使OP?OA?ta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取
AB?a，则式①可化为OP?OA?tAB?OA?tOB?OA??1?t?OA?tOB②
??①和②都称为空间直线的向量表达式，当t?式叫做线段AB的中点公式. 6.共面向量
11，即点P是线段AB的中点时，OP?OA?OB，此22??如图8-154所示，已知平面?与向量a，作OA?a，如果直线OA平行于平面?或在平面?内，则说明向量a平行于平面?.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.
图 8-154
7.共面向量定理
b不共线，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对?x,y?，如果两个向量a，那么向量p与向量a，
使p?xa?yb.
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人教A版2024届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(基础)：立体几何第二章 空间向量及其应用
